지롤라모 카르다노는 16세기 밀라노의 의사이자 점성술사였고 이름난 도박사였다. 주사위를 오래 들여다본 경험으로 『운에 맡기는 놀이에 관하여』를 썼는데, 확률을 계산으로 다룬 첫 저술로 꼽힌다. 이 원고는 그가 죽고 한참 뒤에야 출판됐다. 그는 의학과 자연철학에 관해서도 많은 책을 남겼다.
1545년 『아르스 마그나』에서 그는 삼차방정식과 사차방정식의 해법을 실었다. 삼차의 해법은 델 페로가 먼저 찾고 타르탈리아가 다시 찾아 비밀을 조건으로 카르다노에게 알려 준 것이었다. 카르다노는 델 페로의 원고를 확인한 뒤 출판했고, 그 일로 타르탈리아와 오래 다퉜다. 사차 해법은 제자 페라리의 몫이다. 같은 책에서 그는 합이 10 이고 곱이 40 인 두 수를 찾다가 5 + √(−15) 와 5 − √(−15) 를 적었다. 그는 이것을 정신적 고문이라 부르면서도 계산을 밀고 나갔고, 1572년 봄벨리가 그 계산의 규칙을 정리했다.
허수는 없는 수를 상상해서 만든 것이 아니다. 실근을 구하는 도중에 피할 수 없이 지나가야 했던 수다. 삼차방정식이 실근 셋을 가질 때조차 공식 안에는 음수의 제곱근이 나타난다. 고1 복소수 단원이 i² = −1 이라는 약속에서 시작하는 것도 그 계산을 끝까지 하기 위해서다.
주요 업적
- 『아르스 마그나』(1545)에 삼차·사차방정식의 해법 수록
- 음수의 제곱근을 계산 안에 처음 들여 적음
- 확률을 계산으로 다룬 첫 저술 『운에 맡기는 놀이에 관하여』
- 회전축을 받치는 짐벌(카르다노 이음)에 이름이 남음
시험에서는
a, b 가 양수일 때 √(−a) √(−b) = −√(ab) 다. √a √b = √(ab) 는 둘 다 0 이상일 때만 성립하므로 √(−2) √(−3) 을 √6 이라 쓰면 틀린다. 먼저 √2 i, √3 i 로 바꾸고 i² = −1 을 쓴다.