야코프 베르누이는 스위스 바젤의 상인 집안에서 태어났다. 아버지는 신학을 시켰지만 그는 몰래 수학과 천문학을 공부했고, 결국 바젤 대학의 수학 교수가 됐다. 이 집안에서는 그 뒤로 백 년 동안 수학자가 여럿 나왔다. 그는 동생 요한과 함께 라이프니츠의 미적분을 가장 먼저 받아들여 유럽에 퍼뜨렸고, 형제의 경쟁은 공개 논쟁으로 번질 만큼 치열했다.
1683년 그는 복리 문제를 풀었다. 1 을 빌려 이자율 100% 로 한 해에 한 번 붙이면 2 가 되고, 반년마다 붙이면 2.25, 달마다 붙이면 약 2.61 이 된다. 붙이는 횟수 n 을 한없이 늘려도 원리금은 무한히 커지지 않고 2.718… 이라는 값에 다가간다. e 가 처음 하나의 수로 모습을 드러낸 자리다. 그가 죽고 1713년에 나온 『추측술』은 성공과 실패 두 결과뿐인 시행을 되풀이할 때의 확률을 다뤘고, 시행을 늘릴수록 상대도수가 확률에 다가간다는 큰 수의 법칙을 증명했다.
그는 로그 나선을 「변해도 같은 모양으로 되살아나는」 곡선이라 부르며 묘비에 새겨 달라고 했다. 석공은 모양을 잘못 알아 아르키메데스 나선을 새겼다고 전해진다. 고3 의 e 와 확률과통계의 독립시행, 이항분포가 한 사람의 책상에서 나왔다.
주요 업적
- 복리 문제에서 (1 + 1/n)ⁿ 의 극한으로 e 를 발견(1683)
- 『추측술』(1713)에서 큰 수의 법칙을 증명
- 두 결과뿐인 시행의 반복(베르누이 시행)과 이항분포의 기초
- 라이프니츠의 미적분을 동생 요한과 함께 유럽에 확산
시험에서는
lim (1 + 1/n)ⁿ = e 는 정의이고, 시험은 이것을 lim (1 + x)^(1/x) = e 꼴로 바꿔 낸다. 밑이 1 로, 지수가 무한대로 가는 1^∞ 꼴을 보면 e 를 먼저 떠올린다. 독립시행의 확률 nCr p^r (1 − p)^(n − r) 는 어느 r 번이 성공인가의 경우의 수에 한 경우의 확률을 곱한 것이다.
관련 공식
초상: Niklaus Bernoulli (1662-1716), 1687 · Public domain · 위키미디어 커먼즈