약수와 배수
어떤 수를 나누어떨어지게 하는 약수와 몇 배 한 배수를 이해하고, 최대공약수·최소공배수와 둘을 곱한 관계로 분수 계산의 바탕을 다진다.
가르칠 때 짚을 것 교사용
- 시험에 나오는 것
- 약수·배수를 나열하는 문항보다 최대공약수와 최소공배수 중 어느 쪽을 쓰는가에서 갈린다. "똑같이 나눠 준다"면 최대공약수, "동시에 다시 만난다"면 최소공배수다. 두 계산법을 익히는 시간보다 문장에서 둘을 가려내는 연습에 시간을 더 쓴다.
- 여기서 무너집니다
- 최대공약수와 최소공배수의 이름을 바꿔 쓴다. "공약수 중 가장 큰 것", "공배수 중 가장 작은 것"이라고 외워도 시험지 앞에서 뒤집힌다. 수를 직접 늘어놓게 한다. 약수는 금방 끝나고 배수는 끝없이 이어지는 것을 눈으로 보면, 큰 쪽을 고를 수 있는 것은 약수뿐이라는 게 남는다.
- 확인 질문
-
사탕 개와 초콜릿 개를 남김없이 똑같이 나눠 주려면 최대 몇 명에게 줄 수 있습니까? 최대공약수와 최소공배수 중 어느 것을 썼습니까?
명과 함께 "나눠 주는 것이니 공약수"가 나오면 통과. 값만 맞히고 이유를 못 대면 다음 소단원(분수의 약분)에서 같은 자리에서 다시 막힌다.
개요
곱셈과 나눗셈을 익히면 자연스럽게 따라 나오는 개념이 약수와 배수다. 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수가 약수이고, 어떤 수를 몇 배 한 수가 배수다. 그리고 이 개념은 곧 다음에 배울 분수의 약분과 통분의 바탕이 된다. 지금 여기서 잘 다져 두면 뒤가 훨씬 수월해지니, 기초부터 차근차근 익혀 보자.
핵심 사실
정의
- 약수: 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수를 그 수의 약수라 한다. 예를 들어 의 약수는 로 모두 개다. 이렇게 약수는 개수가 정해져 있다(유한하다).
- 배수: 어떤 수를 배, 배, 배 … 한 수를 그 수의 배수라 한다. 예를 들어 의 배수는 처럼 끝없이 많다(무한하다).
- 약수와 배수는 짝: 한 관계를 양쪽에서 부르는 이름이다. 는 의 배수이고, 동시에 는 의 약수다.
- 최대공약수: 두 수의 공통인 약수 중에서 가장 큰 수다. 나중에 분수를 약분할 때 쓴다.
- 최소공배수: 두 수의 공통인 배수 중에서 가장 작은 수다. 나중에 분수를 통분할 때 쓴다. 예를 들어 와 의 최소공배수는 다.
- 서로소: 두 수의 공약수가 뿐일 때 두 수는 서로소라 한다. 와 는 둘 다 보다 큰 공약수가 없으므로 서로소다. 더 이상 함께 나눌 것이 남아 있지 않다는 뜻이다.
- 공통부분과 나머지: 두 수를 최대공약수로 나누면 공통부분이 전부 빠지고 몫만 남는다. 와 의 최대공약수는 이고, 나눈 몫은 와 이다. 이 두 몫은 언제나 서로소다. 만약 몫에 공통 약수가 더 있었다면 그것까지 곱한 수가 진짜 최대공약수였을 것이기 때문이다.
- 최대공약수 × 최소공배수: 두 수를 공통부분과 몫으로 갈라 보면 , 이다. 최소공배수는 공통부분 에 양쪽 몫을 모두 곱한 이다. 그래서 (최대공약수) × (최소공배수) = (두 수의 곱) 이 된다. 으로 실제로 맞는다.
완료로 두면 초등 핵심 다지기 목차에 표시됩니다.