분수와 소수

개요

분수와 소수는 1보다 작거나 정수가 아닌 수를 나타내는 두 가지 언어다. 분수 $\dfrac{3}{4}$ 와 소수 $0.75$ 는 똑같은 크기를 서로 다른 방식으로 적은 것일 뿐이다. 이 단원에서는 두 표현을 자유롭게 오가고, 분수끼리 더하고 빼기 위한 통분과 약분을 다진다.

핵심 사실

• 약분: 분모와 분자를 같은 수로 나누어 더 간단한 분수로 만든다. 예: $\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$
• 통분: 분모가 다른 분수를 같은 분모로 맞춘다. 더하거나 뺄 때 반드시 먼저 한다.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$$

• 분수의 곱셈: 분자끼리, 분모끼리 곱한다. 통분이 필요 없다는 점이 덧셈과 다르다. 예: $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{15}$ 다. 왜 통분이 필요 없는지는 분수의 곱셈 편에 단계별로 적어 두었다.
• 분수의 나눗셈: 나누는 쪽 분수를 뒤집어 곱한다(역수를 곱한다).

$$\frac{2}{3} \div \frac{4}{9} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$$

• 왜 뒤집는가: $\dfrac{4}{9}$ 로 나누는 것은 ”$\dfrac{4}{9}$ 가 몇 번 들어가는가”를 묻는 일이다. $\dfrac{4}{9}$ 에 $\dfrac{9}{4}$ 를 곱하면 $1$ 이 되므로, 나눗셈을 곱셈으로 바꿔 주는 짝이 바로 역수다.
• 소수 → 분수: 소수점 아래 자리 수만큼 10의 거듭제곱을 분모로 둔다. 예: $0.75 = \dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}$