삼각함수의 그래프 변형

개요

03에서 $y=\sin\theta,\ y=\cos\theta,\ y=\tan\theta$ 의 가장 단순한 그래프를 확인했다. 계수가 모두 $1$ 인 경우였다. 그런데 실제 문제에 나오는 삼각함수는 이렇게 순수한 모습으로 나오는 경우가 드물고, 대부분 $y=a\sin(bx+c)+d$ 처럼 늘어나거나 밀린 모습으로 나온다.

이 소단원에서는 $a,\ b,\ c,\ d$ 네 계수가 그래프를 각각 어떻게 바꾸는지 정리한다. $a$ 는 그래프를 세로로 늘이거나 줄이고, $b$ 는 가로로 압축하거나 늘여 주기를 바꾸고, $c$ 는 좌우로, $d$ 는 상하로 그래프를 민다. 네 계수의 역할을 정확히 구분해 두면 그래프를 직접 그리지 않고도 식만 보고 최댓값·최솟값·주기를 곧바로 읽어낼 수 있고, 이는 뒤에서 삼각방정식이나 활용 문제를 다룰 때 그래프로 상황을 확인하는 밑바탕이 된다.

핵심 사실

• 주기 $\dfrac{2\pi}{|b|}$: $x$ 앞의 계수 $b$ 는 그래프를 가로로 $\dfrac{1}{|b|}$ 배 압축(또는 확대)한다. 기본 주기 $2\pi$(도로는 $360°$)를 $|b|$ 로 나눈 값이 새 주기다.

$$\text{주기} = \frac{2\pi}{|b|}$$

• 좌우 평행이동 $-\dfrac{c}{b}$: $bx+c$ 를 $b$ 로 묶으면 $b\left(x+\dfrac{c}{b}\right)$ 가 되므로, 그래프는 $y=\sin(bx)$ 를 $x$ 축 방향으로 $-\dfrac{c}{b}$ 만큼 옮긴 것이다. $c$ 를 $b$ 로 나누지 않고 그대로 이동량으로 쓰면 안 된다.
• 상하 평행이동 $d$: $d$ 를 더하면 그래프의 모양은 그대로 두고 $y$ 축 방향으로 $d$ 만큼만 옮긴다. 진폭·주기·좌우 이동과 달리 그래프의 폭이나 굴곡에는 영향을 주지 않는다.
• 최댓값과 최솟값: 늘이고 민 결과, 그래프는 $d$ 를 기준으로 위아래 $|a|$ 만큼 오르내린다.

$$\text{최댓값} = |a|+d, \qquad \text{최솟값} = -|a|+d$$

• $\tan$ 은 주기가 다르다: $y=\tan(bx+c)+d$ 의 주기는 $\dfrac{\pi}{|b|}$ 다. $\tan$ 그래프는 $\pi$(도로는 $180°$)마다 반복되는 더 촘촘한 파동이라서, 사인·코사인의 절반 간격만 지나도 같은 모양이 되풀이된다. 또한 $\tan$ 은 치역이 모든 실수라 진폭이라는 개념 자체가 없다.