정적분

개요

부정적분이 “원래 함수 찾기”였다면, 정적분은 구간을 정해 그 값을 하나의 수로 계산한 것이다. 놀라운 점은 넓이를 구하는 정적분과 미분의 역과정인 부정적분이 하나로 이어진다는 사실이다. 이것이 미적분학 전체를 떠받치는 미적분의 기본정리다.

핵심 사실

• 정적분은 하나의 수이므로 적분상수 $C$ 가 필요 없다($F(b)+C-(F(a)+C)$ 에서 $C$ 가 소거된다).
• 성질:

$$\int_a^a f(x)\,dx=0, \qquad \int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$$

• 구간 나누기: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx$
• 대칭 구간에서는 계산이 절반으로 준다. 위의 구간 나누기를 $0$ 에서 적용하고 왼쪽 절반을 치환으로 오른쪽으로 옮기면, 그래프의 대칭이 그대로 값에 나타난다.

$$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx \quad (\text{우함수}), \qquad \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0 \quad (\text{기함수})$$

• $y$ 축에 대해 접어서 포개지면 두 배, 원점에 대해 돌려서 포개지면 $0$ 이다. 항마다 갈라 짝수 차수와 홀수 차수를 따로 보면 어떤 다항식에도 쓸 수 있다. (우함수와 기함수의 정적분에 단계별 유도를 적어 두었다.)
• 위끝을 변수로 두면 정적분이 함수가 된다. $S(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ 는 $a$ 에서 $x$ 까지 쌓인 넓이를 돌려주는 함수이고, 이것을 미분하면 원래 함수가 그대로 돌아온다.

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$

• 쌓인 넓이가 늘어나는 속도가 바로 그 자리의 높이라는 뜻이다. 적분해서 대입할 것 없이 위끝을 $t$ 자리에 그대로 넣으면 된다. 안쪽 변수는 $t$, 바깥쪽 변수는 $x$ 로 반드시 다르게 쓴다. (정적분으로 정의된 함수의 미분에 단계별 유도를 적어 두었다.)

“넓이를 구하는 일과 미분의 역과정이 하나로 이어진다”. 개요의 이 문장이 놀랍게 들린다면 아래에서 확인해 보세요. 곡선 아래를 직사각형 $n$ 개로 쪼개 더한 값과 $F(b)-F(a)$ 를 나란히 찍어 두었습니다. $n$ 을 늘리면 막대가 곡선에 붙으면서 두 값이 만납니다. 잘게 쪼개 더하는 일(왼쪽 수)과 원시함수의 차(오른쪽 수)가 같은 것이라는 말이 이 화면입니다. 위끝을 아래끝보다 작게 밀면 부호가 반대가 되는 것도 그 자리에서 나옵니다.

n 을 늘리면 붙는다 (y = x²)위끝과 아래끝을 바꾸면 부호가 반대부정적분과의 관계 보기

정적분 · 쪼개서 더하기부정적분 · 원시함수의 무리두 곡선 사이 · 위 빼기 아래곡선의 길이 · 꺾어서 재기쌓인 넓이 · 미분하면 높이대칭 구간 · 짝지어 세기속도 · 변화량과 거리

y = x²y = 4 − x²y = x² − 4y = x³ − 3xy = eˣy = 1/xy = sin xy = cos x

아래끝 a = 0 위끝 b = 2 쪼갠 수 n = 6

직사각형 6개의 합   S₆ = 2.037 n 을 늘려 보세요. 막대가 곡선에 붙으면서 합이 아래 값으로 다가갑니다

∫_a^b (x²) dx = [x³/3]_a^b = 2.667 − 0 = 2.667

차이 = 0.63 왼쪽 끝값으로 세운 막대라 늘 조금 모자라거나 넘친다. 다만 n 을 두 배로 하면 차이도 절반이 되고, n 을 한없이 키우면 0 으로 간다. 정적분은 그 극한값이다

n 6 · 합 2.037 · 정적분 2.667 · 차 0.63

y = x² 을 0 부터 2 까지 6 개의 직사각형으로 쪼갰습니다. 직사각형의 합은 2.037 이고 정적분의 값은 2.667 입니다.