구슬 하나가 어느 칸에 떨어질지는 아무도 모릅니다. 그런데 수백 개가 모이면 막대가 노란 종 모양 곡선에 꼭 맞게 자랍니다. 이항분포 B(n, p) 가 정규분포 N(np, npq) 에 가까워지는 모습입니다.
이항분포는 n 이 조금만 커져도 항을 일일이 더할 수 없다. 그런데 막대를 그려 보면 n 이 커질수록 종 모양에 다가간다. 평균과 분산을 그대로 물려받는 정규분포 하나로 갈아 끼우면 표 한 장으로 계산이 끝난다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
이항분포의 평균과 분산이 근사할 정규분포의 두 수가 되는 것을 확인한다
독립시행의 합이라는 구조에서 정규분포가 나오는 까닭을 본다
표준화해 표준정규분포표로 확률을 구한다
한 단계씩 유도해 보기
동전 열 번의 이항분포를 막대로, 평균 5 와 분산 2.5 인 정규분포를 곡선으로 겹쳐 그렸다. 막대 하나의 가로가 1 이라 막대의 높이와 곡선의 높이를 같은 자로 잰다. n 이 커질수록 막대의 윤곽이 곡선에 붙고, 그래서 더할 항이 너무 많아지는 자리에서 곡선으로 갈아탄다.
E(X)=np,V(X)=np(1−p)
이항분포의 평균과 분산이다. 근사할 정규분포가 쓸 두 수가 여기서 나온다. 바꾸는 것은 분포의 모양뿐이고 중심과 흩어짐은 그대로 둔다.
피에르시몽 라플라스