고2 자료와 가능성

정규분포

표준정규분포 · 표준화 · 종 모양 곡선

평균을 가운데로 좌우 대칭인 종 모양 분포. 평균과 표준편차 둘로 모양이 정해진다.

초등중등고등

고2 에서 배웁니다.

정규분포에서는 평균에서 표준편차 한 칸 안에 약 $68%$ , 두 칸 안에 약 $95%$ 가 들어간다.

왜 그런가

정규분포가 흔한 까닭은 작은 요인이 많이 더해진 결과이기 때문이다. 공이 못 사이를 지나며 왼쪽 오른쪽으로 수없이 튀면 바닥에 쌓인 공이 종 모양을 이룬다. 키, 측정 오차, 시험 점수가 이와 비슷하다.

더 놀라운 것은 원래 자료가 어떤 모양이든 표본평균은 종 모양으로 모인다는 점이다. 주사위 눈은 고르게 퍼져 있지만, 주사위 여러 개의 평균을 반복해 구하면 종 모양이 된다(중심극한정리).

평균과 표준편차가 달라도 $z = \frac{x - m}{σ}$ 로 바꾸면 모든 정규분포가 하나의 표준정규분포로 포개진다. 그래서 표 하나로 모든 정규분포의 확률을 읽는다. 수능의 표준점수가 이 표준화를 쓴다.

장면으로 보기 · 무작위가 모이면

무작위가 모이면

구슬 0개 표본 평균 0.00 np = 6.00 √npq = 1.73

줄 n = 12 p = 0.50

구슬 하나가 어느 칸에 떨어질지는 아무도 모릅니다. 그런데 수백 개가 모이면 막대가 노란 종 모양 곡선에 꼭 맞게 자랍니다. 이항분포 B(n, p) 가 정규분포 N(np, npq) 에 가까워지는 모습입니다.

정규분포 표준정규분포

평균과 표준편차 아무

m

σ

0

과

1

쓰는 법 표준화해서 표를 바로 읽는다

정규분포는 가우스가 천체 관측의 오차를 다루며 깊이 연구해 「가우스 분포」라고도 부른다.

모든 자료가 정규분포를 따르지는 않는다. 소득은 대부분이 낮은 쪽에 몰리고 소수가 아주 높아 오른쪽으로 긴 꼬리를 가진다. 이런 자료에 정규분포의 $68%$ , $95%$ 를 그대로 쓰면 틀린다.

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정규분포와 이어진 말

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