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확률과통계
이항정리 ( a + b ) n = r = 0 ∑ n n C r a n − r b r
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덧셈이 그린 프랙탈 intomath.kr
줄 32 / 128 나누는 수 m = 2 칠한 칸 46.0%
다시 홀짝 (m = 2) m = 3 m = 4 m = 5
위의 두 수를 더해 아래 수를 만드는 규칙 하나뿐인데, 홀수 칸만 칠하면 삼각형 안에 같은 삼각형이 끝없이 들어찬 시에르핀스키 삼각형이 나타납니다. 나누는 수를 바꾸면 다른 무늬가 자랍니다.
이항정리는 곱셈 공식을 임의의 차수로 넓힌 것이다. 전개했을 때 각 항의 계수가 왜 조합의 수인지가 핵심이다. 괄호를 하나씩 열어 a 와 b 중 무엇을 고르는가라는 물음으로 바꾸면 계수가 저절로 나온다.
이 공식, 이렇게 학습하세요 전개의 각 항이 괄호마다 하나씩 고른 결과임을 안다 계수가 조합의 수인 이유를 설명한다 특정 항의 계수를 전개하지 않고 구한다 한 단계씩 유도해 보기
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
n = 0
1
2
3
4
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 괄호 n 개에서 b 를 몇 개 고르는가의 수가 계수다. 파스칼 삼각형의 한 줄이 그 수들을 그대로 준다. 같은 괄호를 n 개 곱하는 것이다. 전개는 괄호를 하나씩 열어 가는 일이다.
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외울까, 되살릴까 외우지 않아도 된다
계수는 b 를 몇 개 고르는가의 수다. 이 한 문장이 공식 전체를 만든다.
괄호 n 개에서 b 를 r 개 고른다고 생각한다. 그러면 항은 a^(n−r)b^r 이고 계수는 nCr 다. 지수의 합이 늘 n 이라는 것으로 검산한다. 세제곱 곱셈공식이 기억나면 그것과 맞춰 봐도 된다. n = 3 이면 계수가 1, 3, 3, 1 인데 3C0 부터 3C3 까지가 정확히 그 값이다.
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직접 만져 보기 곱의 법칙 m × n 순열 nPr · 조합 nCr 합의 법칙 m + n 되풀이 2ⁿ · nCk
a a a b b a b b a a b b a b aaa aab aba abb baa bab bba bbb 단계 수 n = 3 갈래 수 = 2 두 갈래를 무엇으로 볼까 넣는다 O · 뺀다 X a 냐 b 냐
끝 가지 = 2 × 2 × 2 = 23 = 8 괄호마다 a 를 꺼낼지 b 를 꺼낼지 따로 정한다. 그래서 항이 2ⁿ 개 나온다
오른쪽 끝의 이름을 하나 눌러 보세요. b 의 개수가 같은 길 이 함께 켜집니다.
갈래 2 · 단계 3 · 총 8
단계마다 두 갈래가 되풀이됩니다. 3단계이므로 끝 가지는 2의 3제곱인 8개입니다. 끝 가지를 누르면 b 의 개수가 같은 길이 함께 켜집니다.
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