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이항정리

$(a+b)^n$ 의 전개식 계수가 조합의 수임을 이해하고, 일반항으로 특정 항을 바로 뽑아낸다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

전개식을 쓰는 것보다 일반항으로 특정 항만 뽑아내는 문항이 배점이다. 여기서

r

이 어느 쪽 지수인지 뒤집히고, 상수 부분의 거듭제곱을 빠뜨린다. 전개 연습을 줄이고 일반항을 적어 놓고 지수를 맞추는 절차를 표준으로 삼는다.

여기서 무너집니다

(x + 2)^{5}

에서

x^{3}

의 계수를

_{5} C_{2}

라고만 쓴다. 조합의 수가 곧 계수라고 외웠기 때문이다. 일반항을 통째로 적게 한다.

_{5} C_{r} x^{5 - r} 2^{r}

을 써 놓고

r = 2

를 넣으면

2^{2}

이 눈앞에 남아 빠뜨릴 수가 없다.

확인 질문

$(x + 2)^{5}$ 의 전개식에서 $x^{3}$ 의 계수는 얼마입니까? 어떻게 구했습니까?

$40$ 과 함께 " $_{5} C_{2} \cdot 2^{2}$ "이 나오면 통과. $10$ 이라 답하면 상수의 거듭제곱을 흘린 것이니, 일반항을 먼저 적는 순서로 되돌린다.

개요

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 는 곱셈 공식으로 외웠다. 그런데 $(a+b)^{10}$ 을 직접 곱해 전개하려면 끝이 없다. 다행히 계수에 규칙이 있다.

$(a+b)^n$ 은 $(a+b)$ 를 $n$ 번 곱한 것이다. 전개할 때 각 괄호에서 $a$ 나 $b$ 중 하나를 골라 곱하므로, $b$ 를 $r$ 번 고르는 방법의 수 $_n\mathrm{C}_r$ 이 그대로 $a^{n-r}b^r$ 의 계수가 된다. 즉 이항정리는 앞 소단원의 조합이 대수식에 나타난 것이다. 세는 문제와 전개 문제가 같은 뿌리라는 점이 이 소단원의 재미다.

핵심 사실

정의

이항정리: 자연수 $n$ 에 대해

(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_r\, a^{n-r} b^{r}

일반항은 $_n\mathrm{C}_r\,a^{n-r}b^r$ 이고, 이 $_n\mathrm{C}_r$ 을 이항계수라 한다. 특정 항만 필요할 때는 전개하지 말고 일반항에서 $r$ 을 찾는다.
예를 들어 $(x+2)^5$ 에서 $x^3$ 항은 $x$ 의 지수가 $3$ 이므로 $r = 2$ 이고, 계수는 $_5\mathrm{C}_2 \cdot 2^2 = 10 \times 4 = 40$ 이다.
파스칼의 삼각형: 이항계수를 $n$ 별로 늘어놓으면 위 두 수의 합이 아래 수가 된다. 이는 조합의 성질 $_n\mathrm{C}_r = {}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_r$ 그 자체다.
계수의 합: $a = b = 1$ 을 넣으면 모든 이항계수의 합이 나온다.

{}_n\mathrm{C}_0 + {}_n\mathrm{C}_1 + \cdots + {}_n\mathrm{C}_n = 2^n

이는 원소가 $n$ 개인 집합의 부분집합 개수가 $2^n$ 인 것과 같은 사실이다. $r$ 개짜리 부분집합이 $_n\mathrm{C}_r$ 개씩 있기 때문이다.
교대합: $a = 1,\ b = -1$ 을 넣으면 $_n\mathrm{C}_0 - {}_n\mathrm{C}_1 + \cdots = 0$ 이다. 홀수 개 뽑는 방법과 짝수 개 뽑는 방법의 수가 같다는 뜻이다.
$(a - b)^n$ 은 $b$ 자리에 $-b$ 를 넣은 것이므로 부호가 번갈아 나타난다. 일반항은 $_n\mathrm{C}_r\,a^{n-r}(-b)^r$ 이다.

완료로 두면 확률과 통계 목차에 표시됩니다.