고2 자료와 가능성

이항정리

이항계수 · 파스칼의 삼각형

$(a + b)^{n}$ 을 전개한 각 항의 계수가 조합의 수 $_{n} C_{r}$ 라는 정리.

초등중등고등

고2 에서 배웁니다.

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ 이다. 계수 $1, 3, 3, 1$ 은 $_{3} C_{0},_{3} C_{1},_{3} C_{2},_{3} C_{3}$ 이다.

왜 그런가

$(a + b)^{3} = (a + b) (a + b) (a + b)$ 를 전개하는 것은 세 괄호에서 $a$ 와 $b$ 중 하나씩 골라 곱하는 일이다. $a^{2} b$ 가 나오려면 세 괄호 가운데 어느 하나에서 $b$ 를 골라야 하고, 그 방법은 $_{3} C_{1} = 3$ 가지다. 그래서 $a^{2} b$ 의 계수가 $3$ 이다.

(a + b)^{n} = r = 0 \sum n_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r}

곱셈을 하나하나 하지 않고 「몇 개의 괄호에서 $b$ 를 고르는가」를 세기만 하면 된다. 전개가 경우의 수 문제로 바뀌는 것이다.

계수를 삼각형으로 쌓으면 위의 두 수를 더해 아래 수가 되는 파스칼의 삼각형이 된다. $_{n} C_{r} =_{n - 1} C_{r - 1} +_{n - 1} C_{r}$ 이 그 규칙이다.

장면으로 보기 · 덧셈이 그린 프랙탈

덧셈이 그린 프랙탈

줄 32 / 128 나누는 수 m = 2 칠한 칸 46.0%

위의 두 수를 더해 아래 수를 만드는 규칙 하나뿐인데, 홀수 칸만 칠하면 삼각형 안에 같은 삼각형이 끝없이 들어찬 시에르핀스키 삼각형이 나타납니다. 나누는 수를 바꾸면 다른 무늬가 자랍니다.

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이항정리와 곱셈 공식

이항정리 곱셈 공식

다루는 것 아무

n

의

(a + b)^{n}

(a + b)^{2}

(a + b)^{3}

처럼 정해진 몇 개

계수를 얻는 법 조합

_{n} C_{r}

로 센다 외워 둔다

이름의 유래

이항(二項)은 두 항 $a$ 와 $b$ 를 뜻한다. 방정식에서 항을 옮기는 이항(移項)과 한자가 다르다. 계수의 삼각형은 파스칼의 이름이 붙었지만 그보다 앞서 중국의 양휘와 페르시아의 수학자들도 같은 삼각형을 적었다.

흔한 오해

$(a + b)^{n}$ 의 항은 $n$ 개가 아니라 $n + 1$ 개다. $b$ 를 $0$ 번부터 $n$ 번까지 고르기 때문이다. 「 $r$ 번째 항」을 물으면 $r$ 이 $0$ 부터 시작하는지 먼저 확인한다.

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