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직선 위의 운동에서는 속도가 수 하나였지만 평면에서는 방향이 생겨 성분 둘이 된다. 각 성분을 따로 미분하면 속도이고, 그 둘을 피타고라스로 합치면 속력이다. 성분마다 따로 본다는 것 하나로 직선 운동의 모든 이야기가 그대로 옮겨 온다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 위치의 각 성분을 미분해 속도벡터를 얻는다
- 속도의 크기가 속력임을 안다
- 가속도가 같은 일을 한 번 더 한 것임을 안다
한 단계씩 유도해 보기
평면 위를 움직이는 점은 자리가 좌표 둘로 정해진다. 성분끼리 섞이지 않으므로 각각 따로 미분한 것이 속도이고, 그 화살표는 늘 곡선의 접선 방향을 가리킨다. 속력은 성분 둘을 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이다. P(t)=(x(t), y(t))
평면 위를 움직이는 점의 자리는 시각마다 좌표 둘로 정해진다. 성분이 둘이라는 것이 직선 운동과 다른 전부다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
성분이 서로 섞이지 않아 각각 따로 미분하면 되고, 크기는 피타고라스이기 때문이다.
x 와 y 를 각각 t 로 미분해 나란히 적는다. 그것이 속도다. 크기를 물으면 두 성분을 제곱해 더하고 근호를 씌운다. 직선 운동에서 절댓값을 씌우던 자리가 평면에서는 근호가 된다.
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직접 만져 보기
t = 1 x′ = 1.2 y′ = 2
|v| = √(1.2² + 2²) = 2.33
점 P(1.2, 3) · 크기를 그냥 더하면 3.2 인데 속력은 2.33
같은 삼각형에 화살촉을 붙인 것이 속도벡터다. 두 성분을 각각 미분해 나란히 둔 것이고, 화살표는 어느 자리에서나 접선 방향을 가리킨다. 크기는 두 성분을 그냥 더한 것이 아니라 직각삼각형의 빗변이다.
던진 물체 x = 1.2 t · y = 4t − t² 위의 t 가 1 이고 점 P 는 1.2, 3 입니다. 속도의 성분은 1.2 와 2 이고 속력은 2.33 입니다. 두 성분의 크기를 그냥 더하면 3.2 로 속력보다 큽니다.
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