고1 문자와식
두 근의 차
이차방정식의 두 근을 구하지 않고도 두 근이 얼마나 떨어져 있는지는 계수만으로 안다. 근과 계수의 관계로 합과 곱을 얻으면 차의 제곱이 판별식을 a² 으로 나눈 값으로 떨어지기 때문이다. 그래프로 보면 포물선이 x축에서 잘라 내는 선분의 길이다. 교과서가 따로 이름을 붙여 싣는 공식은 아니고(교육과정 밖), 근과 계수의 관계와 판별식을 잇는 관례 공식이라 문제풀이에서 자주 쓰여 이 편을 싣는다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- (α − β)² 을 두 근의 합과 곱으로 나타낸다
- 두 근의 차를 판별식과 최고차항의 계수로 구한다
- 포물선이 x축에서 잘라 내는 선분의 길이로 읽는다
한 단계씩 유도해 보기
두 근의 차는 합과 곱만으로 적을 수 있다. 양쪽을 전개하면 둘 다 α² + β² 을 갖고, 가운데 항이 −2αβ 와 +2αβ 로 4αβ 만큼 차이 난다. 그래서 합의 제곱에서 4αβ 를 빼면 차의 제곱이 된다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
차의 제곱은 합의 제곱에서 곱의 네 배를 뺀 것이고, 거기에 근과 계수의 관계를 넣으면 판별식이 나온다.
(α − β)² = (α + β)² − 4αβ 한 줄을 먼저 적는다. 합 −b/a 와 곱 c/a 를 넣고 통분하면 분자가 판별식이다. 제곱근을 씌울 때 분모가 |a| 인 것만 챙긴다. x² − 3x + 2 = 0 의 두 근 1 과 2 로 검산하면 √(9 − 8)/1 = 1 이 맞다.