중3 ~ 고1 변화와 관계

이차방정식

근의 공식 · 판별식 · 완전제곱식

정리했을 때 $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq = 0$ ) 꼴이 되는 방정식.

초등중등고등

중3 에 처음 만나 고1 까지 이어집니다.

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 은 $(x - 2) (x - 3) = 0$ 으로 인수분해되어 $x = 2$ 또는 $x = 3$ 이다.

왜 그런가

두 수를 곱해 $0$ 이면 둘 중 하나는 $0$ 이다. 그래서 인수분해만 되면 이차방정식은 일차방정식 두 개로 쪼개진다.

인수분해가 안 보일 때는 완전제곱식을 만든다. $x^{2} + 6 x = 7$ 의 양변에 $9$ 를 더하면 $(x + 3)^{2} = 16$ 이 되어 $x + 3 = \pm 4$ 다. 이 과정을 문자로 한 번에 해 둔 것이 근의 공식이다.

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

근호 안의 $b^{2} - 4 a c$ (판별식)가 근의 개수를 정한다. 양수면 서로 다른 두 실근, $0$ 이면 중근, 음수면 실수 범위에서 근이 없다. 그래프로는 포물선이 $x$ 축과 두 번, 한 번, 한 번도 안 만나는 경우다.

장면으로 보기 · 사라진 근은 어디로 갔나

사라진 근은 어디로 갔나

y = x² − x + 1.25 D = −4.00 x₁ = 0.50 + 1.00i x₂ = 0.50 − 1.00i

c = 1.25

판별식이 음수가 되어도 근은 사라지지 않습니다. 실수축에서 만난 두 근이 허수 방향으로 갈라져 나갈 뿐이고, 보라색 그림자 포물선이 바닥과 만나는 바로 그 자리입니다.

인수분해로 풀기 근의 공식으로 풀기

쓸 때 곱으로 쪼개지는 것이 보일 때 언제나

장점 빠르다 어떤 계수에서도 답이 나온다

9세기 바그다드의 알콰리즈미는 이차방정식을 완전제곱식으로 푸는 법을 정사각형을 덧붙이는 그림으로 설명했다. 그 책 제목에 든 「알자브르」에서 대수학을 뜻하는 영어 algebra 가 나왔다.

$x^{2} = 3 x$ 의 양변을 $x$ 로 나누면 $x = 3$ 만 남고 $x = 0$ 을 잃는다. $x^{2} - 3 x = 0$ 으로 옮겨 $x (x - 3) = 0$ 으로 풀어야 두 근이 모두 나온다.

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