고1 변화와 관계

근과 계수의 관계

방정식을 풀지 않고도 계수만으로 근들의 합과 곱을 알 수 있다는 관계.

초등중등고등

고1 에서 배웁니다.

$x^{2} + 3 x - 10 = 0$ 의 두 근의 합은 $- 3$ , 곱은 $- 10$ 이다. 실제로 풀면 두 근은 $2$ 와 $- 5$ 다.

왜 그런가

이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 의 두 근이 $α$ , $β$ 이면 이 방정식은 $a (x - α) (x - β) = 0$ 으로도 쓸 수 있다. 이것을 전개하면 $x$ 의 계수에 두 근의 합이, 상수항에 두 근의 곱이 들어간다. 근이 계수를 만들었으니 계수에 근의 흔적이 남는 것이다.

α + β = - \frac{b}{a}, α β = \frac{c}{a}

인수분해할 때 「곱해서 $- 10$ , 더해서 $3$ 인 두 수」를 찾던 것이 이 관계를 거꾸로 쓴 것이다. 그 두 수 $5$ 와 $- 2$ 의 부호를 바꾸면 근 $- 5$ 와 $2$ 가 된다. 근이 무리수나 허수여도 합과 곱은 계수의 나눗셈으로 깔끔하게 나온다. 그래서 근을 구하지 않고도 두 근의 제곱의 합 같은 값을 계산한다.

근의 공식으로와 근과 계수의 관계로

근의 공식으로 근과 계수의 관계로

알려 주는 것 근 하나하나 두 근의 합과 곱

필요한 계산 제곱근까지 나눗셈 두 번

근이 허수일 때 허수인 근이 나온다 합과 곱은 계수로 바로 나온다

이름의 유래

16세기 프랑스의 수학자 프랑수아 비에트의 이름을 따 「비에트의 정리」라고도 부른다.

흔한 오해

합과 곱이 실수라고 두 근이 실근인 것은 아니다. $x^{2} - 4 x + 13 = 0$ 은 두 근의 합이 $4$ , 곱이 $13$ 이지만 판별식이 $16 - 52 < 0$ 이라 두 근은 허근 $2 \pm 3 i$ 다. 실근인지는 판별식으로 따로 확인한다.

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