기하

공간에서 선분의 내분점

P (\frac{m x _{2} + n x _{1}}{m + n}, \frac{m y _{2} + n y _{1}}{m + n}, \frac{m z _{2} + n z _{1}}{m + n})

📖 이 페이지의 개념공간좌표 내분과 외분

공간의 내분점은 평면의 내분점 공식에 z 좌표 한 줄을 더한 것이다. 선분을 m : n 으로 나누면 선분을 좌표축에 비춘 그림자도 모두 같은 비로 나뉘므로, 세 좌표를 따로따로 평면과 같은 식으로 구하면 된다. 위치벡터로 쓰면 평면과 공간이 아예 같은 식이다.

이 공식, 이렇게 학습하세요

공간의 선분 AB 를 2 : 1 로 나눈 점 P 와, 세 점을 바닥에 비춘 그림자를 함께 그렸다. 그림자도 같은 비로 나뉘므로 x, y 좌표는 평면의 내분점 공식 그대로이고, 높이 z 도 같은 비로 나뉜다. 세 좌표를 따로 구하면 되는 까닭이다.

a = (x_{1}, y_{1}, z_{1}), b = (x_{2}, y_{2}, z_{2}), OP = \frac{n a + m b}{m + n}

내분점의 위치벡터 공식에서 출발한다. 이 식은 벡터의 덧셈과 실수배만 쓰므로 평면인지 공간인지를 따지지 않는다. 두 위치벡터를 공간의 성분 셋으로 적어 둔다.

1 / 2 단계· 💎 2단계 더

외우지 않아도 된다

내분점의 위치벡터 공식은 차원을 따지지 않는다. 성분이 셋이면 좌표도 셋이 나올 뿐이다.

평면 공식을 x, y 에 쓰고 z 에 한 번 더 쓴다. m 은 먼 쪽 끝점 B 의 좌표에 붙는다. m = n 을 넣어 중점이 나오는지로 검산한다.

m = 2 n = 1

A(1, 1, 1) 과 B(4, 4, 7) 을 2 대 1 으로 나누는 점 P 는 (3, 3, 5) 입니다. 바닥에 비친 그림자도 같은 비로 나뉩니다.