공간좌표

왜 그런가

좌표평면에 높이를 재는 축 하나를 더한 것이다. 방의 한 구석에 서면 바닥을 따라 뻗은 두 모서리와 위로 솟은 모서리 하나가 보인다. 그 셋을 $x$ 축, $y$ 축, $z$ 축으로 삼으면 방 안의 어느 점이든 「앞으로 얼마, 옆으로 얼마, 위로 얼마」 세 수로 말할 수 있다.

거리는 피타고라스 정리를 두 번 써서 잰다. 먼저 바닥에서 원점과 $(x,y,0)$ 사이의 거리 $\sqrt{x^2+y^2}$ 을 구하고, 그것과 높이 $z$ 를 두 변으로 하는 직각삼각형에서 한 번 더 쓴다. 그래서 제곱항이 하나 늘어날 뿐이다.

평면에서 쓰던 식들이 이렇게 항 하나씩 늘어난 꼴로 그대로 넘어온다. 두 점 사이의 거리와 내분점은 좌표마다 같은 계산을 하고, 원의 방정식은 $z$ 항이 붙어 구의 방정식이 된다. 세 축은 둘씩 짝지어 $xy$ 평면, $yz$ 평면, $zx$ 평면을 만들고, 이 세 평면이 공간을 여덟 칸으로 나눈다. 평면을 네 사분면으로 나누던 것의 공간판이다.