내분과 외분
내분점 · 외분점
선분을 주어진 비로 나누는 점. 선분 위에서 나누면 내분, 연장선 위에서 나누면 외분이다.
고1 에서 배웁니다.
수직선 위의 두 점 A(1), B(7) 에서 선분 AB 를 로 내분하는 점은 이고, 로 외분하는 점은 이다.
왜 그런가
내분점은 두 끝점에 추를 달아 찾는 받침점이다. 받침점은 무거운 추 쪽으로 다가가므로, 내분점에서 더 가까운 끝점에 더 무거운 추를 단다. A(1), B(7) 을 로 나누는 점은 B 쪽으로 치우치니 B 에 무게 , A 에 무게 을 달고 무게의 합 으로 나눈다. 비의 앞 수가 뒤 끝점 B 에 붙는 까닭이 이것이다.
일반적으로 수직선 위의 두 점 , 를 으로 내분하는 점은 아래와 같다. 이면 두 무게가 같아 그냥 평균, 곧 중점이 된다.
평면이나 공간에서는 좌표마다 같은 계산을 따로 하면 된다. 외분점의 식은 이 식의 분자와 분모에서 덧셈을 하나씩 뺄셈으로 바꾼 꼴이다. 비가 에 가까워질수록 외분점은 한없이 멀리 달아나고, 에서는 아예 없다. 연장선 위에는 두 끝점까지의 거리가 같은 점이 없기 때문이다. 삼각형의 무게중심은 중선을 꼭짓점 쪽에서 로 내분하는 점이다.
내분점과 외분점
흔한 오해
외분점이 어느 쪽 바깥에 생기는지 거꾸로 잡기 쉽다. A(1), B(7) 을 로 외분하는 점은 B 너머의 이지만, 로 외분하는 점은 A 너머의 다. 외분점 P 에서 A 까지의 거리와 B 까지의 거리를 견주면 된다. 앞의 수가 크면 A 에서 더 멀리, 곧 B 너머에 있고, 앞의 수가 작으면 A 너머에 있다.
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