자연·몸 수1
오후 3시에 마신 커피는 밤 11시에 얼마나 남아 있나 · 반감기와 지수함수
8시간이 지나도 처음 카페인의 3분의 1이 몸에 남아 있다
- 5시간 카페인이 절반으로 줄어드는 시간(어른 평균)
- ≈ 50mg 오후 3시의 150mg이 밤 11시에 남는 양
- 16.6시간 처음 양의 10% 아래로 떨어지기까지
몸에 들어온 카페인은 일정한 양씩이 아니라 일정한 비율씩 줄어든다. 건강한 어른이라면 대략 5시간마다 절반이 된다. 이 5시간을 반감기라 부른다. 개인차가 커서 짧으면 3시간, 길면 7시간 넘게 걸리지만 여기서는 5시간으로 계산한다.
같은 양이 아니라 같은 비율로 줄어드는 것은 끝내 0에 닿지 않는다.
오후 3시에 카페인 150mg이 든 커피를 마셨다고 하자. 5시간 뒤인 저녁 8시에는 75mg, 다시 5시간 뒤인 새벽 1시에는 37.5mg이 남는다. 그 사이의 시각도 계산할 수 있다. t시간 뒤에 남은 양은 C(t) = 150 × (1/2)^(t/5)이다. 밤 11시는 t = 8이므로 150 × (1/2)^1.6 ≈ 50mg, 처음 양의 3분의 1이 아직 몸에 있다.
거꾸로 물을 수도 있다. 처음 양의 10% 아래로 떨어지려면 몇 시간이 걸릴까. (1/2)^(t/5) = 1/10을 풀면 되고, 양변에 로그를 취하면 t = 5 × log₂10 ≈ 16.6시간이다. 오후 3시에 마신 커피는 다음 날 아침 7시 반쯤에야 10% 아래가 된다.
같은 커피를 오전 9시에 마셨다면 밤 11시까지 14시간이 지나 약 21mg만 남는다. 마시는 양보다 마시는 시각이 밤잠에 더 크게 작용할 수 있는 이유다. 줄어드는 양이 일정한 일차함수였다면 언젠가 0이 되지만, 비율로 줄어드는 지수함수는 0에 가까워질 뿐 닿지 않는다. 늦은 오후의 커피가 생각보다 오래 남는 것은 이 곡선의 모양 때문이다.