울타리 46m로 넓이 140㎡ 텃밭을 만들 수 있을까 · 연립이차방정식
120㎡는 가로 15m, 세로 8m로 되지만 140㎡는 어떤 모양으로도 안 된다
- 15 × 8 둘레 46m, 넓이 120㎡인 텃밭(m)
- D = −31 넓이 140㎡는 불가능
- 132.25㎡ 46m로 만들 수 있는 최대 넓이
철망 46m를 사 왔다. 이것으로 직사각형 텃밭을 둘러 넓이를 120㎡로 만들고 싶다. 가로를 x, 세로를 y라 하면 조건은 두 개다. 둘레가 2(x + y) = 46이므로 x + y = 23, 넓이는 xy = 120이다. 미지수 둘, 식 둘인 연립방정식인데 하나가 이차식이다.
해가 없다는 답도 답이다. 무엇이 가능한지의 경계를 그어 준다.
첫 식에서 y = 23 − x를 둘째 식에 넣으면 x(23 − x) = 120, 정리하면 x² − 23x + 120 = 0이다. 인수분해하면 (x − 8)(x − 15) = 0이니 가로 15m, 세로 8m(또는 그 반대)인 텃밭이 된다. 근과 계수의 관계로 보면 더 짧다. 합이 23이고 곱이 120인 두 수를 찾는 문제이고, 그 두 수가 바로 이차방정식 t² − 23t + 120 = 0의 두 근이다.
욕심을 내서 넓이를 140㎡로 올리면 어떻게 될까. 같은 방법으로 t² − 23t + 140 = 0이 나오는데, 판별식이 23² − 4 × 140 = 529 − 560 = −31로 0보다 작다. 실근이 없다. 계산을 잘못한 것이 아니라 46m 울타리로는 그런 직사각형을 만들 수 없다는 뜻이다.
그러면 46m로 만들 수 있는 가장 넓은 직사각형은 무엇일까. 판별식이 0이 되는 경계, 즉 23² − 4S = 0에서 S = 132.25㎡이고 이때 두 근이 같아 가로와 세로가 모두 11.5m다. 둘레가 정해지면 정사각형이 가장 넓다. 산술평균과 기하평균의 관계가 말하는 내용과 같다. 연립방정식의 해가 없다는 결과도 버릴 것이 아니라, 원하는 것이 가능한 범위가 어디까지인지를 알려 주는 정보다.