비와 비율, 백분율
비, 비율, 백분율이 하나의 관계를 다르게 표현한 것임을 이해하고 실생활 문제에 적용한다.
가르칠 때 짚을 것 교사용
- 시험에 나오는 것
- 비를 간단히 하는 계산보다 기준량을 무엇으로 잡느냐에서 갈린다. " 할인"과 "할인된 값의 "는 기준이 서로 다르고, 문장제는 정확히 그 차이를 묻는다. 백분율 계산 연습보다 기준량에 밑줄을 긋고 시작하는 습관에 시간을 쓴다.
- 여기서 무너집니다
- " 에 대한 의 비율"에서 분모·분자를 뒤집는다. 규칙으로 외우면 시험지에서 반드시 뒤집힌다. "에 대한" 앞에 오는 것이 바닥(기준) 이라고 한 번 세워 주고, 곧바로 자기 반 남녀 수로 두 방향의 비율을 모두 써 보게 하면 차이가 몸에 남는다.
- 확인 질문
-
남학생 명, 여학생 명입니다. 여학생에 대한 남학생의 비율을 분수로 쓰고, 왜 그 수가 분모인지 말해 보세요.
과 함께 "여학생이 기준이라 아래에 온다"가 나오면 통과. 값만 맞히면 방향이 바뀐 문장이 나올 때 그대로 틀린다.
개요
요리 레시피에서 “밥 2컵에 물 3컵”이라고 하면, 밥이 많든 적든 그 관계만 지키면 맛이 똑같이 난다. 지도에서 1cm가 실제 100m를 나타내는 축척도 마찬가지다. 실제 크기가 아니라 두 양 사이의 관계를 나타낸 것이다. 이렇게 두 양을 견주는 관계를 수로 정리하는 것이 비와 비율이다.
비는 두 양을 견주어 나타낸 것이고, 비율은 그 비를 하나의 수(분수·소수)로 나타낸 것이며, 백분율은 비율을 100을 기준으로 다시 쓴 것이다. 셋은 서로 다른 개념이 아니라 같은 관계를 상황에 맞게 바꿔 부르는 이름이다.
핵심 사실
- 비: 남학생과 여학생이 각각 12명, 18명이면 비는 으로 간단히 한다.
정의
비율 = . 위 예에서 여학생에 대한 남학생의 비율은 이다.
- 백분율: 비율에 100을 곱하고 % 를 붙인다.
- 속력도 비율의 한 예다. 거리와 시간의 비이므로 로 정의된다.
- 비례식: 비율이 같은 두 비를 등호로 묶은 식이다. 처럼 쓰고, 바깥쪽 두 항(외항)의 곱과 안쪽 두 항(내항)의 곱이 같다는 성질로 모르는 항을 구한다. 위 식이면 이므로 이다.
- 왜 그 성질이 성립하는가: 는 비율로 쓰면 다. 양변에 를 곱하면 이 되므로, 외항의 곱 = 내항의 곱은 분수식의 양변에 분모를 곱한 것과 같은 일이다. 단계별 유도는 비례식의 성질 편에 있다.
속력·거리·시간 세 공식을 따로 외우는 사람이 많습니다. 실은 하나의 식을 양변에서 나누기만 한 것입니다. 아래에서 한 단계씩 확인하면 외울 것이 셋에서 하나로 줄어듭니다.
속력의 정의에서 출발한다. 간 거리를 걸린 시간으로 나눈 값, 곧 1시간 동안 간 거리다.
1 / 3 단계
완료로 두면 초등 핵심 다지기 목차에 표시됩니다.