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직선의 방정식

기울기와 한 점만 있으면 직선의 식이 정해지고, 평행은 기울기가 같고 수직은 기울기의 곱이 −1이다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

직선의 식을 세우는 것 자체는 짧다. 배점은 수직 조건과 점과 직선 사이의 거리다. 특히 거리 공식은 식을

a x + b y + c = 0

꼴로 옮기지 않아 틀리는 경우가 대부분이다. 대입 전에 꼴을 맞추는 절차에 시간을 쓴다.

여기서 무너집니다

세로선

x = k

를 답 후보에서 통째로 빠뜨린다. "직선은

y = m x + n

"이라고 배웠기 때문이다. 기울기를 구해 보라고 시킨다. 가로 변화가

0

이라 나눌 수 없다는 데서 스스로 예외를 만난다. 이 한 번이면 이후 접선 문항에서 세로선을 빠뜨리지 않는다.

확인 질문

점 $(2, 0)$ 을 지나고 $x$ 축에 수직인 직선의 식은 무엇입니까? 그 기울기는 얼마입니까?

$x = 2$ 와 "기울기가 없다"가 함께 나오면 통과. "기울기 $0$ "이라 하면 가로선과 섞은 것이니, 두 직선을 나란히 그려 확인시킨다.

개요

일차함수와 그래프에서 우리는 $y = ax + b$ 가 직선이라는 사실을 배웠다. 그때는 식이 먼저 주어지고 그래프를 그리는 방향이었다. 이번에는 반대 방향이다. 직선에 대한 정보(지나는 점, 기울기)가 먼저 주어지고, 그 직선의 식을 세운다. 그리고 두 직선이 평행한지 수직한지, 만난다면 어디서 만나는지를 계산으로 판정한다. 도형의 관계를 식의 관계로 바꿔 읽는 연습이다.

핵심 사실

정의

점과 기울기가 주어질 때: 기울기 $m$ 이고 점 $(x_1, y_1)$ 을 지나는 직선의 식은 다음과 같다.

y-y_1=m(x-x_1)

이 한 줄이 직선 방정식의 기본형이다. 정리하면 익숙한 $y = mx + n$ 꼴이 나온다.

아래에서 a(기울기)와 b(y절편) 를 움직여 보세요. 기울기를 바꾸면 직선이 한 점을 축으로 돌고, $y$ 절편을 바꾸면 기울기 그대로 위아래로 평행하게 옮겨집니다. 평행이 “기울기가 같다”는 말과 같은 뜻임이 여기서 눈에 보입니다. 프리셋으로 기울기 $2$ 와 $-\frac{1}{2}$ 를 번갈아 보면 수직 조건( $m_1 m_2 = -1$ )이 어떤 모습인지도 확인할 수 있습니다.

a (기울기) b (y절편)

직선입니다. 기울기 2.0, y절편 1.0.

두 점이 주어질 때: 먼저 기울기를 구한다. 세로 변화량을 가로 변화량으로 나눈 값이다.

m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\quad(x_1\neq x_2)

기울기를 구한 뒤에는 위의 기본형에 두 점 중 아무 하나를 넣으면 된다. 어느 점을 넣어도 같은 식이 나온다.
평행 조건: 두 직선이 평행하면 기울기가 같다, 곧 $m_1 = m_2$ 이다. 단, $y$ 절편은 달라야 한다(같으면 아예 같은 직선이다).
수직 조건: 두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 $-1$ 이다, 곧 $m_1 m_2 = -1$ 이다. 한쪽 기울기가 $2$ 면 다른 쪽은 $-\dfrac{1}{2}$ 로, 뒤집고 부호를 바꾼 값이다.
점과 직선 사이의 거리: 점 $(x_1, y_1)$ 에서 직선 $ax + by + c = 0$ 까지의 거리는 다음과 같다.

d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

이 공식을 쓰려면 직선의 식을 반드시 $= 0$ 꼴로 먼저 정리해야 한다.
특수한 직선: $x = k$ 는 세로선으로 기울기를 정의할 수 없고, $y = k$ 는 가로선으로 기울기가 $0$ 이다.

완료로 두면 고1 공통수학 목차에 표시됩니다.