공간도형

개요

평면에서 두 직선은 만나거나 평행하거나 둘 중 하나였다. 그런데 공간에서는 만나지도 않고 평행하지도 않은 경우가 새로 생긴다. 서로 다른 층에 놓인 두 도로처럼 어긋나 있는 관계이며, 이를 꼬인 위치라 한다.

중1에서 입체도형의 겉면을 다뤘다면, 여기서는 공간 안의 직선과 평면이 서로 어떻게 놓이는지를 따진다. 핵심 도구는 두 가지다. 공간의 수직 관계를 평면 위의 문제로 끌어내리는 삼수선 정리, 그리고 도형을 평면에 비춘 그림자를 다루는 정사영이다. 둘 다 “공간 문제를 어느 한 평면 위의 문제로 바꾼다”는 같은 전략을 쓴다.

핵심 사실

• 두 직선의 위치 관계는 세 가지다: 한 점에서 만난다, 평행하다, 그리고 만나지도 평행하지도 않은 꼬인 위치에 있다. 꼬인 위치는 공간에서만 나타난다.
• 직선과 평면: 직선이 평면에 포함되거나, 한 점에서 만나거나, 평행하다.
• 두 평면: 한 직선에서 만나거나 평행하다. 만날 때 생기는 각이 이면각이며, 교선에 수직으로 그은 두 반직선이 이루는 각으로 잰다.
• 직선과 평면의 수직: 직선이 평면 위의 모든 직선과 수직이면 그 평면에 수직이다. 실제로는 교점을 지나는 두 직선과 수직임을 보이면 충분하다.
• 삼수선 정리: 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm{P}$, 그 정사영 $\mathrm{H}$, 평면 위의 직선 $l$ 과 그 위의 점 $\mathrm{A}$ 에 대해 세 수직 관계 중 둘이 성립하면 나머지 하나도 성립한다.

$$\overline{\mathrm{PH}} \perp \alpha,\qquad \overline{\mathrm{HA}} \perp l \iff \overline{\mathrm{PA}} \perp l$$

• 공간의 수직 문제를 평면 위 직각삼각형 문제로 끌어내리는 것이 이 정리의 쓸모다.
• 정사영: 도형의 각 점에서 평면에 수선을 내려 만든 그림자다. 원래 도형과 정사영이 이루는 각을 $\theta$ 라 하면

$$S' = S\cos\theta$$

• 넓이는 $\cos\theta$ 만큼 줄어든다. $\theta = 0$ 이면 그대로, $\theta = 90°$ 이면 $0$ 이 된다.
• 선분의 정사영 길이도 같은 규칙을 따른다. 길이 $l$ 인 선분이 평면과 이루는 각이 $\theta$ 이면 정사영의 길이는 $l\cos\theta$ 다.
• 다면체의 성질: 꼭짓점 $v$, 모서리 $e$, 면 $f$ 사이에는 오일러의 다면체 정리 $v - e + f = 2$ 가 성립한다.

정사영은 공간 이야기지만 옆에서 본 그림 한 장이면 3차원 그림 없이도 이해됩니다. 아래 위쪽 그림에서 $\theta$ 를 밀면 선분의 그림자가 $l\cos\theta$ 로 짧아지고, 아래쪽 도형은 한 방향으로만 눌립니다. 교선과 나란한 쪽은 그대로이고 수직인 쪽만 $\cos\theta$ 배가 되기 때문에 넓이가 딱 $\cos\theta$ 배가 됩니다. $90°$ 까지 밀면 그림자가 선으로 무너져 넓이가 $0$ 이 되는 순간도 볼 수 있습니다. (단계별 유도는 정사영의 넓이에 적어 두었습니다.)

θ = 0°, 그림자가 원래 도형 그대로θ = 60°, 넓이가 절반θ = 90°, 선으로 무너진다

각 θ = 60° 선분 l = 5

길이: l cos θ = 5 × 0.5 = 2.5

넓이: S′ = S cos θ = 12 × 0.5 = 6

줄어드는 것은 교선에 수직인 방향뿐이다. 나란한 방향은 그대로이므로 넓이가 딱 cos θ 배가 된다. 이것이 S′ = S cos θ 의 전부다.

평면과 이루는 각이 60도입니다. 길이 5 인 선분의 정사영은 2.5 이고, 넓이 12 인 도형의 정사영은 6 입니다.