중1 기초

개요

초등에서 약수와 배수를 배웠다. 중학교에서는 한 걸음 더 들어가 자연수를 더 이상 쪼갤 수 없는 수들의 곱으로 분해한다. 이 “가장 작은 조각”이 소수이고, 분해하는 일을 소인수분해라고 한다. 소인수분해는 최대공약수·최소공배수를 빠르게 구하는 열쇠이자, 나중에 분수의 약분·통분과 제곱근을 다루는 바탕이 된다.

핵심 사실

• 소수: 1보다 큰 자연수 중 약수가 $1$ 과 자기 자신뿐인 수. $2, 3, 5, 7, 11, \ldots$ ($2$ 는 유일한 짝수 소수다.)
• 합성수: 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 수 — 약수가 3개 이상. $4, 6, 8, 9, \ldots$ ($1$ 은 소수도 합성수도 아니다.)
• 소인수분해: 자연수를 소수의 곱으로만 나타내는 것. 같은 소수는 거듭제곱으로 묶는다.

$$12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3, \qquad 90 = 2 \times 3^2 \times 5$$

• 최대공약수(GCD): 두 수의 소인수분해에서 공통인 소인수를, 지수가 작은 쪽으로 골라 곱한다.
• 최소공배수(LCM): 나오는 모든 소인수를, 지수가 큰 쪽으로 골라 곱한다.

$$24 = 2^3 \times 3, \quad 36 = 2^2 \times 3^2 \;\Rightarrow\; \gcd = 2^2 \times 3 = 12, \quad \text{lcm} = 2^3 \times 3^2 = 72$$

비교표

개념	고르는 규칙	24와 36의 예
최대공약수	공통 소인수 · 작은 지수	$2^2 \times 3 = 12$
최소공배수	모든 소인수 · 큰 지수	$2^3 \times 3^2 = 72$
관계식	두 수의 곱 = GCD × LCM	$24 \times 36 = 12 \times 72$

시험 포인트

• 소인수분해는 소수로 나누는 순서와 상관없이 결과가 하나로 정해진다 — 어떻게 시작해도 같은 답이 나온다.
• 최대공약수는 “공통 · 작게”, 최소공배수는 “전부 · 크게”. 둘을 반대로 고르는 실수가 가장 흔하다.
• 최대공약수는 약분(분수를 간단히)에, 최소공배수는 통분(분모 맞추기)에 그대로 쓰인다.

개요

초등에서 다룬 수는 0과 양수뿐이었다. 중학교에서는 음수가 더해져 수직선이 0을 기준으로 양쪽으로 뻗는다. 온도, 해발고도, 통장의 입출금처럼 “반대 방향”을 하나의 수 체계로 다루기 위한 확장이다.

핵심 사실

• 정수: $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$ — 양의 정수, 0, 음의 정수를 통틀어 부른다.
• 유리수: $\dfrac{b}{a}$ ($a \neq 0$) 꼴로 나타낼 수 있는 수. 정수와 분수를 모두 포함한다.
• 절댓값 $|x|$ 는 수직선에서 0까지의 거리다. $|-3| = 3$, $|3| = 3$
• 부호 규칙: 덧셈에서 부호가 다르면 절댓값의 차, 같으면 절댓값의 합. 곱셈·나눗셈에서 부호가 같으면 $+$, 다르면 $-$.

$$(-2) \times (-5) = +10, \qquad (-3) + (+7) = +4$$

비교표

개념	정의	예
자연수	1부터 시작하는 양의 정수	$1, 2, 3$
정수	음의 정수·0·양의 정수	$-2, 0, 5$
유리수	분수로 나타낼 수 있는 수	$-\dfrac{1}{2}, 3, 0.7$

시험 포인트

• 음수의 곱셈에서 부호를 먼저 정하고 절댓값을 계산하면 실수가 준다.
• $-3^2$ 과 $(-3)^2$ 은 다르다. 앞은 $-9$, 뒤는 $9$ 다. 괄호의 유무를 반드시 본다.
• 뺄셈은 “빼는 수의 부호를 바꿔 더하기”로 바꾸면 덧셈 규칙 하나로 통일된다.

개요

문자는 아직 모르는 수나 변하는 수를 대신하는 이름이다. 문자를 쓰면 “어떤 수에 2를 곱하고 3을 더하면 11” 같은 말을 $2x + 3 = 11$ 이라는 한 줄로 압축할 수 있다. 이 등식을 참으로 만드는 $x$ 를 찾는 것이 방정식 풀이다.

핵심 사실

• 등식의 성질: 양변에 같은 수를 더하거나 빼도, 0이 아닌 같은 수로 곱하거나 나눠도 등식은 그대로 성립한다.
• 이항: 한 항을 등호 반대쪽으로 옮기면 부호가 바뀐다. 등식의 성질을 줄여 쓴 것이다.
• 일차방정식 풀이 절차:

$$2x + 3 = 11 \;\Rightarrow\; 2x = 8 \;\Rightarrow\; x = 4$$

• 괄호가 있으면 분배법칙으로 먼저 전개한 뒤 정리한다. $3(x - 1) = x + 5 \Rightarrow 3x - 3 = x + 5 \Rightarrow x = 4$

비교표

용어	뜻	예
항	덧셈으로 이어진 각 덩어리	$2x,\ 3$
계수	문자에 곱해진 수	$2x$ 의 계수는 $2$
상수항	문자가 없는 항	$3$
해(근)	방정식을 참으로 만드는 값	$x = 4$

시험 포인트

• 이항할 때 부호 바꾸기를 빠뜨리는 실수가 가장 잦다. 옮긴 항의 부호를 꼭 확인한다.
• 괄호가 있으면 전개부터 한다. 분배를 일부 항에만 하면 틀린다.
• 마지막에 구한 해를 원래 식에 넣어 검산하면 계산 실수를 걸러낼 수 있다.

개요

좌표평면은 가로축($x$)과 세로축($y$)이 직각으로 만나 이루는 판이다. 평면 위 한 점을 순서쌍 $(x, y)$ 로 정확히 가리킬 수 있어, 수와 식의 관계를 그림으로 볼 수 있게 해 준다. 방정식이 직선·곡선이 되어 눈앞에 나타나는 순간이다.

핵심 사실

• 순서쌍 $(x, y)$ 에서 앞은 가로 위치, 뒤는 세로 위치다. 순서를 바꾸면 다른 점이다.
• 일차함수 $y = ax + b$ 의 그래프는 직선이다.
  • $a$ 는 기울기: $x$ 가 1 늘 때 $y$ 의 변화량.
  • $b$ 는 $y$ 절편: 그래프가 $y$ 축과 만나는 점의 $y$ 값 ($x = 0$ 일 때).

$$y = 2x - 1 \;\Rightarrow\; \text{기울기 } 2,\ y\text{절편 } -1$$

• 기울기가 양수면 오른쪽 위로, 음수면 오른쪽 아래로 향한다.

아래 슬라이더로 직접 확인해 보세요. b(기울기)와 c(y절편)를 움직이면 직선이 어떻게 변하는지 눈으로 볼 수 있습니다. a를 0으로 두면 완전한 직선이 됩니다.

a = 0.0b = 2.0c = -1.0

a (구부러짐) b (기울기) c (y절편)

비교표

요소	기호	그래프에서 읽는 법
기울기	$a$	직선이 기운 정도
$y$ 절편	$b$	$y$ 축과 만나는 높이
$x$ 절편	$-\dfrac{b}{a}$	$x$ 축과 만나는 위치

시험 포인트

• 순서쌍의 순서($x$ 먼저, $y$ 나중)를 뒤바꾸지 않는다.
• $y$ 절편은 $x = 0$, $x$ 절편은 $y = 0$ 을 대입해 구한다. 두 절편을 혼동하지 않는다.
• 기울기는 $\dfrac{y\text{의 변화량}}{x\text{의 변화량}}$ 이다. 분모·분자를 뒤집지 않도록 주의한다.

개요

중학교 도형은 “정확한 말”에서 출발한다. 초등에서 눈으로 보던 선과 각을, 이제 점·선·면이라는 기본 요소와 그 사이의 관계로 또렷하게 정의한다. 특히 두 직선이 만나거나 평행할 때 생기는 각들 사이의 규칙은 앞으로 배울 삼각형·다각형의 성질을 증명하는 바탕이 된다.

핵심 사실

• 직선·반직선·선분: 두 점을 양쪽으로 끝없이 늘이면 직선, 한쪽으로만 늘이면 반직선, 두 점 사이만 끊으면 선분이다.
• 각의 종류: 크기에 따라 예각($0^\circ<\angle<90^\circ$), 직각($90^\circ$), 둔각($90^\circ<\angle<180^\circ$), 평각($180^\circ$)으로 나눈다.
• 맞꼭지각: 두 직선이 한 점에서 만날 때 서로 마주 보는 두 각. 크기가 항상 같다.
• 평행선의 성질: 평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때, 동위각끼리 같고 엇각끼리 같다. 거꾸로 동위각(또는 엇각)이 같으면 두 직선은 평행하다.
• 점과 직선 사이의 거리: 점에서 직선에 내린 수선의 발까지의 길이. 가장 짧은 거리다.

비교표

각 관계	위치	크기
맞꼭지각	두 직선의 교점에서 마주 봄	항상 같다
동위각	평행선에서 같은 쪽 위치	평행이면 같다
엇각	평행선에서 엇갈린 안쪽	평행이면 같다

시험 포인트

• 맞꼭지각은 평행이 아니어도 항상 같지만, 동위각·엇각은 두 직선이 평행일 때만 같다. 이 조건을 빠뜨리기 쉽다.
• 평각 $180^\circ$ 를 이용해 “한 직선 위의 두 각의 합 $=180^\circ$“로 모르는 각을 찾는 문제가 자주 나온다.
• 평행선 문제는 보조선(평행선을 하나 더 긋기)으로 엇각을 만들어 푸는 경우가 많다.

개요

작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 도형을 그리는 일이다. 길이를 재지 않고도 정확한 도형을 만들 수 있다는 점에서, 도형의 성질을 “왜 그런지” 따지는 훈련이 된다. 이 과정에서 삼각형이 하나로 정해지는 조건이 드러나는데, 그것이 곧 두 삼각형이 완전히 포개지는 합동조건과 같다.

핵심 사실

• 작도 도구: 눈금 없는 자(직선 긋기)와 컴퍼스(길이 옮기기·원 그리기)만 쓴다. 각도기·눈금은 쓰지 않는다.
• 삼각형의 결정조건: 다음 중 하나가 주어지면 삼각형이 하나로 정해진다.
  • 세 변의 길이 (SSS)
  • 두 변의 길이와 그 낀각 (SAS)
  • 한 변의 길이와 그 양 끝 각 (ASA)
• 합동: 모양과 크기가 같아 완전히 포개지는 두 도형. 기호 $\equiv$ 로 쓰고, 포개지는 변·각을 대응변·대응각이라 한다.
• 삼각형의 합동조건: 결정조건과 같은 SSS, SAS, ASA 세 가지. 대응변의 길이·대응각의 크기가 조건대로 같으면 두 삼각형은 합동이다.

비교표

조건	주어지는 것	이름
SSS	세 쌍의 대응변	변-변-변
SAS	두 쌍의 대응변 + 낀각	변-각-변
ASA	한 쌍의 대응변 + 양 끝각	각-변-각

시험 포인트

• SAS 는 반드시 **두 변의 “낀각”**이어야 한다. 낀각이 아닌 다른 각이면 삼각형이 하나로 정해지지 않는다.
• 세 각만 같은 것(AAA)은 합동조건이 아니다 — 모양은 같아도 크기가 다를 수 있다(닮음일 뿐이다).
• 합동인 도형은 넓이·둘레도 같지만, 넓이가 같다고 합동인 것은 아니다.

개요

삼각형의 세 각의 합이 $180^\circ$ 라는 사실을 발판 삼아, 이제 어떤 다각형이든 각의 합을 계산할 수 있다. 또한 곡선으로 이루어진 원에서도 중심각을 통해 호의 길이와 부채꼴의 넓이를 정확히 구한다. 다각형과 원은 넓이·부피 계산의 기본 재료다.

핵심 사실

• 다각형의 내각의 합: $n$ 각형은 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 $(n-2)$ 개의 삼각형으로 나뉜다. 따라서

$$\text{내각의 합}=180^\circ \times (n-2)$$

• 다각형의 외각의 합: 몇 각형이든 항상 $360^\circ$ 다.
• 정다각형의 한 내각: $\dfrac{180^\circ \times (n-2)}{n}$
• 부채꼴: 원에서 두 반지름과 호로 둘러싸인 부분. 중심각의 크기에 호의 길이와 넓이가 정비례한다.
• 호의 길이와 넓이 (반지름 $r$, 중심각 $x^\circ$):

$$\ell = 2\pi r \times \frac{x}{360}, \qquad S = \pi r^2 \times \frac{x}{360} = \frac{1}{2}\, r \ell$$

비교표

도형	구하는 것	공식
$n$ 각형	내각의 합	$180^\circ(n-2)$
모든 다각형	외각의 합	$360^\circ$
부채꼴	호의 길이	$2\pi r \cdot \dfrac{x}{360}$

시험 포인트

• 외각의 합은 변의 개수와 상관없이 항상 $360^\circ$ — 정다각형의 한 외각은 $\dfrac{360^\circ}{n}$ 로 바로 구한다.
• 부채꼴의 호·넓이는 중심각에 정비례하므로, 전체 원($360^\circ$)에 대한 비율로 생각하면 공식을 외우지 않아도 된다.
• $S=\frac{1}{2}r\ell$ 은 호의 길이 $\ell$ 을 알 때 중심각 없이 넓이를 구하는 지름길이다.

개요

평면을 벗어나 공간으로 나오면 입체도형이 된다. 평면도형을 쌓거나(기둥), 한 점으로 모으거나(뿔), 축을 중심으로 돌려서(회전체) 만든다. 겉넓이는 “펼친 전개도의 넓이”, 부피는 “채우는 공간의 크기”로 이해하면 공식이 자연스럽게 연결된다.

핵심 사실

• 다면체: 다각형인 면으로만 둘러싸인 입체. 각기둥·각뿔이 대표다.
• 정다면체: 모든 면이 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모이는 면의 수가 같은 입체. 정사면체·정육면체·정팔면체·정십이면체·정이십면체 5가지뿐이다.
• 회전체: 평면도형을 한 직선(회전축)을 중심으로 돌려 만든 입체. 원기둥·원뿔·구가 있고, 회전축을 품은 단면은 축을 기준으로 좌우 대칭이다.
• 부피:

$$V_{\text{기둥}} = (\text{밑넓이}) \times (\text{높이}), \qquad V_{\text{뿔}} = \frac{1}{3}\times(\text{밑넓이})\times(\text{높이})$$

• 구 (반지름 $r$): 겉넓이 $S = 4\pi r^2$, 부피 $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$

비교표

입체	부피
각기둥·원기둥	밑넓이 × 높이
각뿔·원뿔	$\dfrac{1}{3}$ × 밑넓이 × 높이
구	$\dfrac{4}{3}\pi r^3$

시험 포인트

• 정다면체가 5가지뿐이라는 사실과 각각의 면·꼭짓점 수는 자주 묻는다.
• 뿔의 부피는 같은 밑면·높이를 가진 기둥의 정확히 $\frac{1}{3}$ 이다 — 계수 $\frac{1}{3}$ 을 빠뜨리는 실수가 흔하다.
• 회전체의 단면: 회전축에 수직으로 자르면 항상 원, 회전축을 품고 자르면 좌우 대칭 도형이 된다.

개요

수많은 자료를 그냥 늘어놓으면 아무것도 보이지 않는다. 표와 그래프로 정리해야 비로소 “어디에 많이 몰려 있는지”, “어떻게 퍼져 있는지”가 드러난다. 도수분포표와 히스토그램은 자료의 생김새를 한눈에 보여 주고, 상대도수는 전체 수가 다른 두 집단을 공정하게 비교하게 해 준다.

핵심 사실

• 도수분포표: 자료를 몇 개의 계급(일정한 구간)으로 나누고, 각 계급에 속한 자료의 개수인 도수를 적은 표. 계급의 가운데 값을 계급값이라 한다.
• 히스토그램: 계급을 가로축, 도수를 세로축으로 하여 막대를 서로 붙여 그린 그래프. 각 막대의 넓이가 도수에 비례한다.
• 도수분포다각형: 히스토그램 각 막대의 윗변 중점을 선분으로 이은 그래프. 자료의 분포 모양을 매끄럽게 보여 준다.
• 상대도수: 전체에서 그 계급이 차지하는 비율이다.

$$(\text{상대도수})=\frac{(\text{그 계급의 도수})}{(\text{전체 도수})}$$

• 상대도수의 총합은 항상 $1$ 이고, 전체 수가 다른 두 집단을 비교할 때 유리하다.

비교표

용어	뜻
계급	자료를 나눈 구간
도수	각 계급에 속한 자료의 개수
계급값	계급의 가운데 값
상대도수	도수 ÷ 전체 도수

시험 포인트

• 히스토그램의 막대는 붙여서 그린다 — 계급이 연속된 구간이기 때문이다(막대그래프는 떼어 그린다).
• 상대도수의 합은 언제나 $1$ 이므로, 빠진 한 계급의 상대도수는 ”$1$ − 나머지의 합”으로 구한다.
• 전체 수가 다른 두 반을 비교할 때는 도수가 아니라 상대도수로 견줘야 공정하다.

개요

“우리 반 성적은 어느 정도인가?”처럼 많은 자료를 하나의 수로 요약한 것이 대푯값이다. 가장 익숙한 것은 평균이지만, 아주 크거나 작은 값(극단값)이 섞이면 평균은 쉽게 휘둘린다. 그래서 중앙값·최빈값도 함께 알아 두고, 자료의 성격에 맞는 대푯값을 고르는 눈이 필요하다.

핵심 사실

• 평균: 자료를 모두 더해 개수로 나눈 값. 가장 널리 쓰인다.

$$(\text{평균})=\frac{(\text{자료의 총합})}{(\text{자료의 개수})}$$

• 중앙값: 자료를 크기순으로 늘어놓았을 때 한가운데 오는 값. 자료가 짝수 개이면 가운데 두 값의 평균으로 한다.
• 최빈값: 자료에서 가장 자주 나타나는 값. 개수가 가장 많은 값이며, 여러 개일 수도 있다.
• 대푯값 고르기: 매우 크거나 작은 값이 섞여 있으면 평균이 그쪽으로 끌려가므로, 이럴 때는 중앙값이 자료를 더 잘 대표한다.

비교표

대푯값	구하는 법	특징
평균	총합 ÷ 개수	극단값에 민감
중앙값	크기순 가운데 값	극단값에 안정적
최빈값	가장 많은 값	개수가 중요한 자료에

시험 포인트

• 중앙값은 반드시 크기순으로 정렬한 뒤 가운데를 찾는다 — 정렬하지 않고 원래 순서의 가운데를 고르는 실수가 흔하다.
• 자료가 짝수 개일 때 중앙값은 가운데 두 값의 평균이다.
• 평균만 보면 속기 쉽다 — 극단값이 있는 자료(예: 소수의 아주 높은 소득)에서는 중앙값이 현실을 더 잘 보여 준다.