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유리수와 순환소수

분수를 소수로 나타내면 언제 딱 떨어지고 언제 무한히 반복되는지, 그리고 순환소수를 다시 분수로 되돌리는 방법을 익힌다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

순환소수를 분수로 되돌리는 계산에 배점이 몰릴 것 같지만, 실제로 갈리는 곳은 판별이다. 약분을 먼저 하지 않아 유한소수를 순환소수로 답한다. 되돌리는 절차는 반복하면 붙으니, 기약분수로 만든 뒤 분모의 소인수를 보는 순서를 몸에 붙인다.

여기서 무너집니다

\frac{6}{30}

의 분모에

3

이 있으니 순환소수라고 답한다. 규칙으로 주지 말고 약분 전후로 실제 나눗셈을 해 보게 한다. 같은 수인데 판정이 달라지는 것이 이상하다는 데서 아이가 스스로 약분을 앞으로 당긴다.

확인 질문

$\frac{6}{30}$ 은 유한소수입니까 순환소수입니까? 왜 그렇습니까?

유한소수와 함께 "약분하면 $\frac{1}{5}$ 라 분모가 $5$ 뿐"이 나오면 통과. 분모 $30$ 을 그대로 보고 순환소수라 하면 판별의 전제를 놓친 것이다.

개요

분수를 소수로 바꾸면 $\dfrac{1}{4}=0.25$ 처럼 딱 떨어지기도 하고, $\dfrac{1}{3}=0.333\ldots$ 처럼 끝없이 반복되기도 한다. 반복되는 소수를 순환소수라 부르는데, 놀랍게도 이런 무한소수도 다시 분수로 되돌릴 수 있다. 즉 분수로 나타낼 수 있는 수(유리수)는 유한소수 아니면 순환소수라는 규칙을 이 단원에서 확인한다.

핵심 사실

정의

유한소수: 소수점 아래가 유한 번에서 끝나는 소수. $0.25,\ 0.7$

순환소수: 소수점 아래에서 몇 개의 숫자가 무한히 되풀이되는 소수. 되풀이되는 부분(순환마디) 위에 점을 찍어 $0.\dot{3}=0.333\ldots$ , $0.\dot{1}\dot{2}=0.121212\ldots$ 로 쓴다.
판별법: 기약분수로 고친 뒤 분모를 소인수분해한다. 분모의 소인수가 $2$ 와 $5$ 뿐이면 유한소수, $2 \cdot 5$ 이외의 소인수가 하나라도 있으면 순환소수다.

\frac{3}{8}=\frac{3}{2^3}=0.375\ (\text{유한}), \qquad \frac{1}{6}=\frac{1}{2 \times 3}=0.1\dot{6}\ (\text{순환})

순환소수 → 분수: $10^n$ 을 곱해 소수 부분을 겹친 뒤 빼서 순환마디를 지운다.

x = 0.\dot{4}=0.444\ldots \;\Rightarrow\; 10x - x = 4 \;\Rightarrow\; x=\frac{4}{9}

비교표

분수	분모의 소인수	소수	종류
$\dfrac{7}{20}$	$2^2 \times 5$	$0.35$	유한소수
$\dfrac{1}{6}$	$2 \times 3$	$0.1\dot{6}$	순환소수
$\dfrac{5}{11}$	$11$	$0.\dot{4}\dot{5}$	순환소수

시험 포인트

순환마디의 점은 되풀이되는 첫 숫자와 끝 숫자에만 찍는다. $0.2\dot{3}\dot{1}=0.2313131\ldots$
분수로 되돌릴 때 곱하는 $10$ 의 거듭제곱은 순환마디의 자릿수에 맞춘다(한 자리면 $10$ , 두 자리면 $100$ ).

흔한 실수

반드시 기약분수로 먼저 약분한 뒤 분모를 본다. $\dfrac{6}{30}$ 은 분모에 $3$ 이 있어 보이지만 약분하면 $\dfrac{1}{5}$ 라 유한소수다.

예제로 익히기 따라 풀기

기초 예제 1

분수 $\frac{7}{40}$ 을 소수로 나타내면 유한소수인지 순환소수인지 판별해 보자.

먼저 스스로 풀어 보세요. 막히면 한 단계씩 열어 확인합니다.

0 / 3 단계

시험 예제 2

$\frac{a}{15}$ 를 소수로 나타내면 유한소수가 되도록 하는 자연수 $a$ 중 가장 작은 것을 구해 보자.

먼저 스스로 풀어 보세요. 막히면 한 단계씩 열어 확인합니다.

0 / 4 단계

스스로 확인하기 점검

기초 1 / 5

다음 분수를 소수로 고쳤을 때 순환소수가 되는 것은?

기초 2 / 5

순환소수 $0. \dot{4} = 0.444 \dots$ 를 분수로 나타내면?

시험 3 / 5

분수 $\frac{9}{60}$ 을 소수로 나타내는 것에 대한 설명으로 옳은 것은?

시험 4 / 5

순환소수 $0. \dot{2} \dot{7} = 0.272727 \dots$ 를 기약분수로 나타내면?

도전 5 / 5

$\frac{5}{7}$ 를 소수로 나타낼 때, 소수점 아래 $10$ 번째 자리의 숫자는?

완료로 두면 중2 식과 함수 목차에 표시됩니다.