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합의 법칙과 곱의 법칙

경우의 수를 더할 때와 곱할 때를 가르는 기준을 잡고, 중복을 빼는 셈법까지 익힌다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

합과 곱의 판단은 중3에서 이미 했다. 고1의 배점은 한 문제 안에서 두 법칙이 층을 이루는 자리다. 큰 갈래는 더하고 각 갈래 안은 곱하는 구조를 세우지 못하면 답이 크게 어긋난다. 갈래를 먼저 나눠 그림으로 적어 놓는 절차에 시간을 쓴다.

여기서 무너집니다

약수의 개수에서 지수를 그대로 곱해

2^{3} \times 3^{2}

의 약수를

6

개라 답한다. **

2^{0}

을 고르는 경우를 짚어 준다**.

2

를 몇 개 쓸지 고르는 선택지가

0, 1, 2, 3

의 네 가지다. "

0

개도 하나의 선택"이라는 한 마디로

+ 1

이 규칙에서 이유로 바뀐다.

확인 질문

$2^{3} \times 3^{2}$ 의 약수는 몇 개입니까? $+ 1$ 은 어디서 나옵니까?

$12$ 개와 " $2$ 를 $0$ 개 쓰는 경우까지 세서"가 나오면 통과. $6$ 개라 답하면 곱의 법칙은 알되 선택지를 잘못 센 것이다.

개요

세는 일에는 규칙이 딱 두 가지뿐이다. 더하거나, 곱하거나. 중2에서 배운 경우의 수가 바로 그것이고, 여기서는 같은 두 법칙을 조금 더 큰 문제에 쓴다.

가르는 기준은 한 문장이다, 곧 두 일이 동시에 일어날 수 없으면 더하고, 잇따라 함께 일어나면 곱한다. “또는”으로 이어지면 합, “그리고”로 이어지면 곱이라고 봐도 좋다. 여기에 하나가 더 붙는다. 두 경우에 겹치는 것이 있으면 두 번 센 만큼을 빼 줘야 한다. 이 세 가지가 이 소단원의 전부이며, 다음 소단원의 순열·조합도 결국 이 법칙 위에 세워진다.

핵심 사실

정의

합의 법칙: 사건 $A$ 와 $B$ 가 동시에 일어나지 않을 때, $A$ 또는 $B$ 가 일어나는 경우의 수는

n(A \cup B) = n(A) + n(B)

겹칠 때는 뺀다: 동시에 일어날 수 있다면 두 번 센 부분을 덜어 낸다.

n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)

예를 들어 $1$ 부터 $20$ 까지의 수 중 $2$ 의 배수 또는 $3$ 의 배수는 $10 + 6 - 3 = 13$ 개다. $6$ 의 배수 $3$ 개가 양쪽에 다 세어졌기 때문이다.
곱의 법칙: 사건 $A$ 가 일어나는 각각의 경우에 대해 사건 $B$ 가 일어난다면, 두 사건이 잇따라 일어나는 경우의 수는 $m \times n$ 이다. 상의 $3$ 벌과 하의 $4$ 벌로 만드는 옷차림은 $3 \times 4 = 12$ 가지다.
약수의 개수: $N = a^p b^q$ ( $a, b$ 는 서로 다른 소수)로 소인수분해되면 약수의 개수는 곱의 법칙으로

(p+1)(q+1)

지수마다 $0$ 부터 $p$ 까지 $p+1$ 가지를 고르는 일이 잇따르기 때문이다. $72 = 2^3 \times 3^2$ 의 약수는 $4 \times 3 = 12$ 개다.
여사건으로 세기: “적어도 하나”를 묻는 문제는 전체에서 하나도 아닌 경우를 빼는 편이 빠르다.
수형도는 경우의 수가 적거나 조건이 얽혀 있을 때 빠짐없이 세는 가장 확실한 방법이다. 공식이 헷갈리면 작은 경우를 직접 그려 확인한다.

그 수형도를 아래에서 직접 갈라 보세요. 가짓수를 밀면 가지가 실제로 늘어나고, 1단계의 갈래 하나하나마다 2단계가 통째로 붙는 모습이 보입니다. 왜 더하지 않고 곱하는지가 여기 있습니다. 끝 가지를 세면 언제나 $m \times n$ 입니다. 상의 3 · 하의 4 를 눌러 위의 예를 그대로 확인하고, 1단계를 $4$ , 2단계를 $3$ 으로 밀어 약수의 개수 $(p+1)(q+1)$ 도 같은 그림이라는 것을 보세요.

1단계 3가지 2단계 4가지

1단계 3가지 각각에 2단계 4가지가 이어집니다. 끝 가지는 3 곱하기 4 은 12개이고, 이것이 곱의 법칙입니다.

완료로 두면 고1 공통수학 목차에 표시됩니다.