고1 공통수학

개요

Unit 4의 인수분해에서 우리는 이차식 $ax^2 + bx + c$ 를 두 일차식의 곱으로 되돌리는 눈을 길렀다. 이번에는 차수가 하나 더 올라간다. $x^3$ 이 등장하는 삼차의 세계로 들어서는 것이다. 겁먹을 필요는 없다. 규칙은 이차에서 쓰던 것과 똑같고, 차수만 커질 뿐이다. 이차에 곱셈공식이 있었듯 삼차에도 곱셈공식이 있고, 나눗셈에는 직접 나누지 않고도 나머지를 알아내는 지름길이 하나 더 생긴다.

핵심 사실

• 삼차 곱셈공식은 이차의 확장이다.

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, \qquad a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

• 두 세제곱의 차도 짝을 이룬다: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. 앞 괄호의 부호와 가운데 항의 부호가 서로 맞물려 바뀐다.
• 다항식 나눗셈은 정수 나눗셈과 같은 꼴이다. 다항식 $A$ 를 $B$ 로 나누면 몫 $Q$ 와 나머지 $R$ 에 대해

$$A = BQ + R$$

가 성립하고, 이때 나머지 $R$ 의 차수는 나누는 식 $B$ 의 차수보다 낮다. $B$ 가 일차식이면 나머지는 상수(숫자)다.

• 나머지정리: 다항식 $f(x)$ 를 $(x - a)$ 로 나눈 나머지는 $f(a)$ 다. 굳이 긴 나눗셈을 하지 않고 $x$ 자리에 $a$ 를 대입하기만 하면 나머지가 나온다.
• 인수정리: $f(a) = 0$ 이면 $(x - a)$ 는 $f(x)$ 의 인수다. 나머지가 $0$ 이라는 것은 딱 나누어떨어진다는 뜻이기 때문이다. 이 정리는 삼차식을 인수분해할 때, 근이 될 만한 값을 대입해 인수를 하나 찾아내는 출발점이 된다.

비교표

나머지 구하는 법	방법	언제 쓰나	장점
직접 나눗셈	다항식을 실제로 나눈다	몫까지 필요할 때	몫과 나머지를 함께 얻는다
나머지정리	$f(a)$ 를 대입해 계산	나머지만 필요할 때	나눗셈 없이 대입 한 번으로 끝

시험 포인트

• $(a + b)^3 \neq a^3 + b^3$ 이다. 가운데 항 $3a^2b + 3ab^2$ 이 빠지지 않는다. 세제곱을 편하게 나눠 쓰고 싶은 유혹을 조심하자.
• $(x - 2)$ 로 나눈 나머지는 $f(-2)$ 가 아니라 $f(2)$ 다. 나누는 식이 $(x - a)$ 꼴일 때 대입값은 $x = a$, 곧 부호를 뒤집어 읽는다.
• $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ 에서 가운데 항의 부호는 $-ab$ 다. 곱셈공식 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 의 $+2ab$ 와 혼동하지 말자. 세제곱 인수분해의 가운데 항은 계수도 $1$ 이고 부호도 다르다.
• 인수정리로 인수를 찾을 때는 상수항의 약수부터 대입해 본다. $f(a) = 0$ 을 만드는 $a$ 를 찾으면 $(x - a)$ 가 인수로 확정된다.

개요

Unit 4에서 우리는 “그래프와 $x$ 축의 교점 = 이차방정식의 해”라는 사실을 확인했다. 포물선이 $x$ 축과 만나는 그 점들이 곧 방정식의 답이었다. 이번에는 한 걸음 더 나아가, 그 교점들의 사이와 바깥을 읽는다. 방정식이 “어디서 만나느냐”를 물었다면, 부등식은 “어디서 위에 있고 어디서 아래에 있느냐”를 묻는다. 답이 점 하나가 아니라 $x$ 의 구간으로 나온다는 점이 새롭다.

핵심 사실

• 이차부등식의 해는 포물선이 $x$ 축의 어느 쪽에 있는지로 정해진다. $ax^2 + bx + c < 0$ 의 해는 그래프가 $x$ 축 아래에 있는 $x$ 의 구간이고, $> 0$ 의 해는 그래프가 $x$ 축 위에 있는 $x$ 의 구간이다.
• $a > 0$ 이고 두 근이 $\alpha < \beta$ 일 때(아래로 볼록한 포물선):
  • $ax^2 + bx + c < 0$ 의 해는 $\alpha < x < \beta$ — 두 근 사이(포물선이 축 아래로 내려간 구간).
  • $ax^2 + bx + c > 0$ 의 해는 $x < \alpha$ 또는 $x > \beta$ — 두 근 바깥.
• 등호가 붙으면($\leq$, $\geq$) 경계인 근 자체도 해에 포함된다. 예를 들어 $\leq 0$ 의 해는 $\alpha \leq x \leq \beta$ 처럼 양 끝을 포함한다.
• 그래프가 $x$ 축과 만나지 않으면(판별식 $b^2 - 4ac < 0$, $a > 0$ 기준) 포물선 전체가 축 위에 떠 있다. 이때 $> 0$ 의 해는 모든 실수, $< 0$ 의 해는 없다.

아래 슬라이더로 직접 확인해 보세요. 기본값 $y = x^2 - 4x + 3$ 에서 그래프가 $x$ 축 아래로 내려가는 구간은 $1 < x < 3$ 입니다. 이것이 바로 $x^2 - 4x + 3 < 0$ 의 해입니다. 프리셋 ‘x축과 안 만남’은 $y = x^2 - 4x + 5$ 로, 판별식이 $16 - 20 < 0$ 이라 그래프 전체가 $x$ 축 위에 떠 있습니다. 이 경우 $> 0$ 은 모든 실수에서 성립하고, $< 0$ 은 해가 없다는 것을 눈으로 확인해 보세요.

위로 볼록 (a<0)x축과 안 만남기본으로

a = 1.0b = -4.0c = 3.0

a (구부러짐) b (기울기) c (y절편)

프리셋 ‘위로 볼록’처럼 $a < 0$ 이면 포물선이 뒤집혀 위·아래 관계가 반대가 됩니다. 이럴 때는 “사이/바깥”을 통째로 외우려 하지 말고, 그래프를 떠올려 아래로 내려간 구간이 어디인지 그때그때 읽는 편이 안전합니다.

비교표

대상	구하는 것	답의 형태
이차방정식	그래프와 $x$ 축의 교점	점(값) — 보통 두 개의 $x$ 값
이차부등식	그래프가 축 위/아래인 곳	구간 — $\alpha < x < \beta$ 또는 바깥

시험 포인트

• “사이면 $<$, 바깥이면 $>$” 같은 규칙을 무작정 외우지 말자. 포물선을 간단히 그려 두 근을 찍고, 축 아래인지 위인지 직접 판단하면 실수가 없다.
• $a < 0$ 이면 양변에 $-1$ 을 곱해 $a > 0$ 인 부등식으로 바꿀 수 있는데, 이때 부등호의 방향이 뒤집힌다. $-x^2 + \cdots > 0$ 을 $x^2 - \cdots < 0$ 으로 바꾸는 식이다.
• 등호 포함 여부를 답에 정확히 반영하자. $< 0$ 이면 경계를 빼고 $1 < x < 3$, $\leq 0$ 이면 경계를 넣어 $1 \leq x \leq 3$ 이다.
• 판별식이 음수라 그래프가 축과 안 만나는 경우, “해 없음”과 “모든 실수”를 혼동하지 말자. $a > 0$ 기준으로 $> 0$ 은 항상 참(모든 실수), $< 0$ 은 항상 거짓(해 없음)이다.

개요

Unit 4에서 우리는 이차방정식의 근을 구하는 법을 익혔다. 인수분해로 두 일차식을 찾거나, 여의치 않으면 근의 공식에 계수를 대입했다. 그런데 문제가 늘 “근을 구하라”고만 묻는 것은 아니다. 때로는 두 근의 합이나 곱, 혹은 $\alpha^2 + \beta^2$ 같은 값만 필요할 때가 있다. 이럴 때 방정식을 풀지 않고도 두 근의 정보를 계수에서 바로 읽어 내는 지름길이 있다. 바로 근과 계수의 관계다.

핵심 사실

• $ax^2 + bx + c = 0$ 의 두 근이 $\alpha, \beta$ 이면 다음이 성립한다.

$$\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \dfrac{c}{a}$$

• 유도 아이디어: $ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ 로 놓고 우변을 전개해 양변의 계수를 비교하면 위 관계식이 나온다. 아래 스테퍼로 한 단계씩 따라가 보자.
• 활용 변형: 두 근을 직접 구하지 않고도 $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ 처럼 합과 곱만으로 여러 값을 계산할 수 있다.
• 거꾸로 세우기: 두 수 $\alpha, \beta$ 를 근으로 하는 이차방정식은 $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ 이다. 합과 곱을 알면 방정식을 되만들 수 있다.

$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ 에서 출발해 우변을 전개하고 계수를 맞춰 보면, 왜 합에 마이너스가 붙는지가 자연스럽게 드러납니다. 아래에서 한 단계씩 확인해 보세요.

$$a{x}^2+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )$$

두 근이 α, β이면 이차식은 이렇게 인수분해된다.

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1 / 4 단계

비교표

묻는 것	요령
두 근의 합	$-\dfrac{b}{a}$
두 근의 곱	$\dfrac{c}{a}$
$\alpha^2 + \beta^2$	$(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ 로 변형
두 수로 방정식 만들기	$x^2 - (\text{합})x + (\text{곱}) = 0$

시험 포인트

• 합의 부호는 $-\dfrac{b}{a}$ 다. $+\dfrac{b}{a}$ 로 쓰는 실수가 가장 많으니, 합에는 마이너스가 붙는다는 것을 먼저 떠올리자.
• $a \neq 1$ 이면 반드시 $a$ 로 나눈다. 예컨대 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ 의 곱은 $c$ 인 $1$ 이 아니라 $\dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2}$ 다.
• $\alpha^2 + \beta^2$ 을 물으면 두 근을 직접 구하려 들지 말고 $(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ 변형 공식을 쓰자. 합과 곱만 알면 대입 한 번으로 끝난다.

개요

이차방정식까지는 근의 공식이라는 만능 열쇠가 있었다. 그런데 차수가 셋, 넷으로 올라가면 외워서 쓸 공식이 없다. 대신 방법은 하나로 정해져 있다 — 인수분해해서 차수를 낮추는 것이다. 삼차방정식은 (일차)×(이차)로 쪼개면 이미 아는 문제가 되고, 사차방정식도 마찬가지다.

여기서 결정적인 도구가 나머지정리와 인수정리다. $P(a) = 0$ 이면 $P(x)$ 는 $x - a$ 로 나누어떨어진다는 사실 덕분에, 답이 될 만한 수 하나만 찾으면 인수 하나가 손에 들어온다. 나머지는 조립제법으로 몫을 구해 차수를 낮추면 된다.

뒤이어 미지수가 두 개이면서 차수가 이차인 연립이차방정식도 다룬다. 중2의 연립일차방정식에서 쓰던 대입법이 그대로 통한다.

핵심 사실

• 인수정리: $P(a) = 0 \iff P(x)$ 가 $x - a$ 를 인수로 가진다. 삼차·사차방정식 풀이는 이 $a$ 를 찾는 것에서 시작한다.
• 근의 후보: 계수가 정수일 때 유리수 근은 $\pm\dfrac{(\text{상수항의 약수})}{(\text{최고차항 계수의 약수})}$ 중에 있다. 대개 $\pm 1, \pm 2$ 부터 넣어 본다.
• 조립제법으로 몫을 구해 차수를 낮춘다. 예를 들어 $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$ 은 $x = 1$ 이 근이므로

$$(x - 1)(x^2 - x - 2) = 0 \;\Rightarrow\; (x - 1)(x - 2)(x + 1) = 0$$

• 따라서 해는 $x = 1,\ 2,\ -1$ 이다. 한 번 인수를 찾으면 남는 것은 이차방정식이므로 그다음은 근의 공식이나 인수분해로 끝낸다.
• 삼차방정식 $x^3 = 1$ 의 허근: $x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1) = 0$ 이므로 $x = 1$ 또는 $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}$ 다. 이 허근을 $\omega$ 라 하면 $\omega^3 = 1$, $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ 이라는 두 성질이 자주 쓰인다.
• 복이차식($x^4, x^2,$ 상수만 있는 식)은 $x^2 = t$ 로 치환한다. $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ 은 $t^2 - 5t + 4 = 0$ 이 되어 $t = 1, 4$, 곧 $x = \pm 1, \pm 2$ 다.
• 켤레근: 계수가 모두 실수인 방정식이 허근 $p + qi$ 를 가지면 켤레인 $p - qi$ 도 반드시 근이다. 허근은 항상 짝으로 나온다.
• 연립이차방정식 — (일차)+(이차) 꼴은 대입법이 원칙이다. 일차식을 $y = \square$ 로 정리해 이차식에 넣으면 미지수 하나짜리 이차방정식이 된다.
• 연립이차방정식 — (이차)+(이차) 꼴은 한 식이 인수분해되는지 먼저 본다. $x^2 - y^2 = 0$ 은 $(x-y)(x+y) = 0$ 이므로 $y = x$ 또는 $y = -x$ 로 갈라져, 각각을 다른 식에 대입하는 두 갈래 문제가 된다.

비교표

방정식의 꼴	첫 수	이어지는 계산
삼차·사차 (일반)	$P(a)=0$ 인 $a$ 를 후보에서 찾기	조립제법으로 차수 낮추기
복이차식 $ax^4+bx^2+c=0$	$x^2 = t$ 로 치환	$t$ 의 이차방정식 → $x = \pm\sqrt{t}$
연립 (일차)+(이차)	일차식을 $y=\square$ 로 정리	이차식에 대입
연립 (이차)+(이차)	인수분해되는 식을 두 일차식으로	갈래마다 대입

시험 포인트

• 근의 후보를 아무 수나 넣지 않는다. 상수항의 약수부터 넣는다. $x^3 - 2x^2 - x + 2$ 라면 상수항 $2$ 의 약수 $\pm 1, \pm 2$ 가 후보 전부다.
• 조립제법의 부호를 조심한다. $x - 1$ 로 나눌 때는 $1$ 을, $x + 1$ 로 나눌 때는 $-1$ 을 쓴다.
• 치환하면 $t$ 의 조건을 챙긴다. $t = x^2$ 이므로 $t \ge 0$ 이다. $t$ 가 음수로 나오면 그 갈래에는 실근이 없다.
• 치환한 채로 답하지 않는다. $t = 4$ 에서 멈추지 말고 $x = \pm 2$ 까지 되돌린다. 사차방정식의 해는 최대 네 개다.
• 연립방정식의 답은 $(x, y)$ 짝으로 쓴다. $x$ 값 두 개, $y$ 값 두 개를 따로 나열하면 어느 것이 어느 것과 짝인지 알 수 없다. 구한 $x$ 를 대입했던 식에 다시 넣어 짝을 맞춘다.
• “실근만” 인지 “모든 근” 인지 확인한다. 허근을 빠뜨리거나, 반대로 실근만 묻는데 허근까지 세면 틀린다.

개요

세는 일에는 규칙이 딱 두 가지뿐이다. 더하거나, 곱하거나. 중2에서 배운 경우의 수가 바로 그것이고, 여기서는 같은 두 법칙을 조금 더 큰 문제에 쓴다.

가르는 기준은 한 문장이다 — 두 일이 동시에 일어날 수 없으면 더하고, 잇따라 함께 일어나면 곱한다. “또는”으로 이어지면 합, “그리고”로 이어지면 곱이라고 봐도 좋다. 여기에 하나가 더 붙는다. 두 경우에 겹치는 것이 있으면 두 번 센 만큼을 빼 줘야 한다. 이 세 가지가 이 소단원의 전부이며, 다음 소단원의 순열·조합도 결국 이 법칙 위에 세워진다.

핵심 사실

• 합의 법칙: 사건 $A$ 와 $B$ 가 동시에 일어나지 않을 때, $A$ 또는 $B$ 가 일어나는 경우의 수는

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B)$$

• 겹칠 때는 뺀다: 동시에 일어날 수 있다면 두 번 센 부분을 덜어 낸다.

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$

• 예를 들어 $1$ 부터 $20$ 까지의 수 중 $2$ 의 배수 또는 $3$ 의 배수는 $10 + 6 - 3 = 13$ 개다. $6$ 의 배수 $3$ 개가 양쪽에 다 세어졌기 때문이다.
• 곱의 법칙: 사건 $A$ 가 일어나는 각각의 경우에 대해 사건 $B$ 가 일어난다면, 두 사건이 잇따라 일어나는 경우의 수는 $m \times n$ 이다. 상의 $3$ 벌과 하의 $4$ 벌로 만드는 옷차림은 $3 \times 4 = 12$ 가지다.
• 약수의 개수: $N = a^p b^q$ ($a, b$ 는 서로 다른 소수)로 소인수분해되면 약수의 개수는 곱의 법칙으로

$$(p+1)(q+1)$$

• 지수마다 $0$ 부터 $p$ 까지 $p+1$ 가지를 고르는 일이 잇따르기 때문이다. $72 = 2^3 \times 3^2$ 의 약수는 $4 \times 3 = 12$ 개다.
• 여사건으로 세기: “적어도 하나”를 묻는 문제는 전체에서 하나도 아닌 경우를 빼는 편이 빠르다.
• 수형도는 경우의 수가 적거나 조건이 얽혀 있을 때 빠짐없이 세는 가장 확실한 방법이다. 공식이 헷갈리면 작은 경우를 직접 그려 확인한다.

비교표

	합의 법칙	곱의 법칙
언제	두 사건이 동시에 일어나지 않음	두 사건이 잇따라 일어남
말로	”$A$ 또는 $B$"	"$A$ 그리고 $B$“
계산	$m + n$ (겹치면 $-\,n(A \cap B)$)	$m \times n$
예	버스 $3$ 대 또는 기차 $2$ 대로 가기 → $5$	상의 $3$ · 하의 $4$ → $12$

시험 포인트

• “또는 / 그리고”를 먼저 찾는다. 이 한 단어가 더할지 곱할지를 결정한다. 문제를 읽자마자 밑줄을 긋는 습관이 실수를 크게 줄인다.
• 겹치는 경우를 빼먹지 않는다. ”$2$ 의 배수 또는 $3$ 의 배수”에서 $6$ 의 배수는 양쪽에 모두 들어 있다. 벤 다이어그램을 그리면 눈에 보인다.
• 약수의 개수는 지수에 $1$ 을 더해 곱한다. 지수를 그냥 곱해 $3 \times 2 = 6$ 으로 답하는 실수가 흔하다. $2^0$ 을 고르는 경우가 빠졌기 때문이다.
• 한 문제 안에 두 법칙이 섞인다. 대개 큰 갈래는 합으로 나누고, 각 갈래 안은 곱으로 센다. 갈래를 먼저 나눈 뒤 각각을 곱하고 마지막에 더한다.
• “적어도”가 보이면 여사건을 떠올린다. 전체 경우의 수에서 반대 경우를 빼는 쪽이 거의 항상 빠르다.

개요

앞 소단원의 곱의 법칙을 계속 쓰다 보면 $5 \times 4 \times 3$ 같은 계산이 반복해서 나온다. 이렇게 여럿 중에서 몇 개를 뽑아 늘어놓는 셈에 이름과 기호를 붙인 것이 순열이고, 늘어놓지 않고 뽑기만 하는 셈이 조합이다.

둘을 가르는 기준은 딱 하나, 순서를 따지는가이다. 반장과 부반장을 뽑는 것은 누가 반장인지가 중요하므로 순열이고, 대표 두 명을 뽑는 것은 순서가 없으므로 조합이다. 조합은 순열에서 “같은 것을 순서만 바꿔 여러 번 센” 만큼을 나눠 준 것이라, 두 기호는 남남이 아니라 한 뿌리다.

핵심 사실

• 순열 $_n\mathrm{P}_r$ — 서로 다른 $n$ 개에서 $r$ 개를 뽑아 순서 있게 나열하는 경우의 수다.

$$_n\mathrm{P}_r = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

• 곱해지는 수는 $n$ 부터 시작해 $r$ 개다. $_5\mathrm{P}_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$.
• 계승 $n! = n(n-1)\cdots 2 \cdot 1$ 이고, 약속으로 $0! = 1$ 이다. $_n\mathrm{P}_n = n!$ 은 $n$ 개를 모두 한 줄로 세우는 경우의 수다.
• 조합 $_n\mathrm{C}_r$ — 서로 다른 $n$ 개에서 $r$ 개를 순서 없이 뽑는 경우의 수다. 뽑은 $r$ 개를 늘어놓는 방법이 $r!$ 가지이므로 순열을 $r!$ 로 나눈다.

$$_n\mathrm{C}_r = \frac{_n\mathrm{P}_r}{r!} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$

• $_5\mathrm{C}_3 = \dfrac{60}{6} = 10$ 이다. 순열 $60$ 가지 중 같은 세 사람을 순서만 바꾼 $6$ 가지를 하나로 묶은 셈이다.
• 조합의 두 성질: 뽑을 것을 고르는 일과 남길 것을 고르는 일은 같으므로 $_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n-r}$ 이고, 특정한 하나를 뽑느냐 안 뽑느냐로 갈라 보면 $_n\mathrm{C}_r = {}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_r$ 이다.
• $_n\mathrm{C}_0 = {}_n\mathrm{C}_n = 1$ 이다. 하나도 안 뽑는 방법도, 전부 뽑는 방법도 한 가지다.
• 뽑아서 나열하는 문제는 조합과 순열을 이어 붙인다. $10$ 명에서 $3$ 명을 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수는 $_{10}\mathrm{C}_3 \times 3! = {}_{10}\mathrm{P}_3$ 이다.
• 이웃 조건은 묶어서 센다. 이웃해야 하는 것들을 한 덩어리로 보고 배열한 뒤, 덩어리 안에서의 순서를 곱한다.

비교표

	순열 $_n\mathrm{P}_r$	조합 $_n\mathrm{C}_r$
순서	따진다	따지지 않는다
말로	뽑아서 나열한다	뽑기만 한다
예	반장·부반장, 자리 배치, 세 자리 수 만들기	대표 $2$ 명, 선분 긋기, 악수하기
관계	$_n\mathrm{P}_r = {}_n\mathrm{C}_r \times r!$	$_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{P}_r \div r!$
$n=5,\ r=3$	$60$	$10$

시험 포인트

• 순서를 따지는지 먼저 판단한다. 반장·부반장은 순열, 대표 $2$ 명은 조합이다. 이 판단이 틀리면 계산이 아무리 정확해도 답이 $r!$ 배 어긋난다.
• $_n\mathrm{P}_r$ 은 $r$ 개만 곱한다. $_7\mathrm{P}_3$ 은 $7 \times 6 \times 5$ 이지 $7!$ 이 아니다. 곱한 개수를 세어 확인한다.
• $0! = 1$ 이다. $_n\mathrm{P}_n = \dfrac{n!}{0!} = n!$ 이 성립하도록 정한 약속이다.
• 큰 수의 조합은 성질로 줄인다. $_{100}\mathrm{C}_{98} = {}_{100}\mathrm{C}_2 = 4950$ 처럼 $_n\mathrm{C}_{n-r}$ 로 바꾸면 계산이 훨씬 가볍다.
• “적어도”는 여사건으로. 남녀 섞인 조에서 “여학생이 적어도 한 명”이면 전체에서 여학생이 한 명도 없는 경우를 뺀다.
• 자리 조건은 먼저 처리한다. 특정 자리에 올 것이 정해져 있으면 그것부터 배치하고 나머지를 센다. 세 자리 수 문제에서 맨 앞자리에 $0$ 이 올 수 없는 것이 대표적이다.

개요

성적표나 가격표처럼 수를 가로세로로 늘어놓은 표는 어디에나 있다. 이 표 자체를 하나의 수처럼 다루기로 약속한 것이 행렬이다. 여러 개의 수를 한 덩어리로 묶어 두면, 표 전체를 한 번에 더하거나 몇 배로 늘리는 일을 기호 하나로 쓸 수 있다.

덧셈·뺄셈·실수배는 같은 자리끼리 하면 되므로 어렵지 않다. 새로운 것은 곱셈이다. 자리끼리 곱하는 것이 아니라 왼쪽 행렬의 행과 오른쪽 행렬의 열을 맞물려 곱하고 더한다. 이 규칙 때문에 행렬 곱셈에서는 우리가 당연하게 여기던 $AB = BA$ 가 성립하지 않는다. 이 소단원의 핵심은 그 낯선 성질을 받아들이는 데 있다.

핵심 사실

• 행렬은 수를 직사각형 모양으로 배열하고 괄호로 묶은 것이다. 가로줄을 행, 세로줄을 열이라 하고, 행이 $m$ 개 열이 $n$ 개면 $m \times n$ 행렬이라 한다.
• $i$ 행 $j$ 열에 있는 수를 $(i, j)$ 성분이라 하고 $a_{ij}$ 로 쓴다. 두 행렬이 같다는 것은 꼴이 같고 모든 대응하는 성분이 같다는 뜻이다.
• 덧셈·뺄셈·실수배는 같은 자리끼리 한다. 꼴이 다른 두 행렬은 더할 수 없다.

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end{pmatrix}$$

• 곱셈은 왼쪽의 행과 오른쪽의 열을 차례로 곱해 더한다.

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}$$

• 곱할 수 있는 조건: $(m \times n)$ 과 $(n \times p)$ 처럼 앞의 열 수와 뒤의 행 수가 같아야 하고, 결과는 $m \times p$ 행렬이다. 이 조건이 안 맞으면 곱 자체가 정의되지 않는다.
• 교환법칙이 성립하지 않는다. 일반적으로 $AB \ne BA$ 이며, $AB$ 는 되는데 $BA$ 는 아예 정의되지 않을 수도 있다.
• $AB = O$ 라고 해서 $A = O$ 또는 $B = O$ 인 것은 아니다. 수에서는 당연하던 성질이 행렬에서는 깨진다. 그래서 행렬 방정식에서 양변을 “나누는” 조작은 함부로 할 수 없다.
• 영행렬 $O$ 는 모든 성분이 $0$ 인 행렬로 덧셈의 $0$ 노릇을 하고, 단위행렬 $E$ 는 대각선만 $1$ 이고 나머지가 $0$ 인 정사각행렬로 곱셈의 $1$ 노릇을 한다. 곧 $AE = EA = A$ 다.
• 결합법칙 $(AB)C = A(BC)$ 와 분배법칙 $A(B+C) = AB + AC$ 는 성립한다. 깨지는 것은 교환법칙뿐이다.

비교표

성질	수	행렬
덧셈 교환 $A+B=B+A$	성립	성립
곱셈 교환 $AB=BA$	성립	성립하지 않음
결합·분배법칙	성립	성립
$AB=0 \Rightarrow A=0$ 또는 $B=0$	성립	성립하지 않음
곱셈의 항등원	$1$	단위행렬 $E$

시험 포인트

• $AB$ 와 $BA$ 를 같은 것으로 쓰지 않는다. 행렬 문제에서 가장 많이 틀리는 자리다. $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ 도 틀린 전개이며, 바르게 쓰면 $A^2 + AB + BA + B^2$ 다.
• 곱셈 가능 조건을 먼저 확인한다. $(2 \times 3)(3 \times 2)$ 는 $2 \times 2$ 가 되지만, $(2 \times 3)(2 \times 3)$ 은 곱할 수 없다.
• 곱셈은 성분끼리 곱하는 것이 아니다. 같은 자리끼리 곱해 버리는 실수가 흔하다. 반드시 행 × 열로 계산한다.
• $AB = O$ 에서 $A$ 나 $B$ 가 영행렬이라고 결론짓지 않는다. 둘 다 영행렬이 아니면서 곱이 영행렬인 예가 실제로 있다.
• 두 행렬이 같다는 조건은 성분별 연립방정식이 된다. 미지수를 구하는 문제는 대응하는 성분을 하나씩 맞춰 놓고 푼다.

개요

좌표평면은 중학교에서 이미 만났다. 점의 위치를 $(x, y)$ 두 숫자로 적는 그 평면이다. 지금부터 달라지는 것은 도형을 좌표로 계산한다는 태도다. 두 점 사이의 거리를 재려면 자를 대는 대신 좌표를 빼서 피타고라스 정리를 쓰고, 선분의 중점을 찾으려면 그림을 접는 대신 좌표를 평균한다. 이렇게 도형 문제를 계산 문제로 바꾸는 것이 좌표기하의 출발점이며, 뒤이어 나올 직선과 원의 방정식은 모두 이 방식 위에 세워진다.

핵심 사실

• 두 점 사이의 거리: 두 점 $\mathrm{A}(x_1, y_1)$, $\mathrm{B}(x_2, y_2)$ 사이의 거리는 다음과 같다.

$$\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

• 이 식은 새로운 공식이 아니다. 가로 차이와 세로 차이를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변을 구하는 것이니, 피타고라스 정리 그 자체다.
• 중점의 좌표: 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점 $\mathrm{M}$ 은 두 좌표를 각각 평균한 점이다.

$$\mathrm{M}\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$

• 내분점의 좌표: 선분 $\mathrm{AB}$ 를 $m : n$ 으로 나누는 점 $\mathrm{P}$ 는 다음과 같다. 계수가 엇갈려 붙는 것이 포인트다.

$$\mathrm{P}\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n},\ \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right)$$

• 중점은 $m = n = 1$ 인 특별한 내분점이다. 위 식에 $m = n = 1$ 을 넣으면 중점 공식이 그대로 나오므로, 따로 외울 공식이 하나 줄어든다.
• 삼각형의 무게중심: 세 꼭짓점의 좌표를 그냥 평균하면 된다 — $\mathrm{G}\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$.

비교표

구하는 것	방법	근거
두 점 사이의 거리	좌표 차이를 제곱해 더한 뒤 제곱근	피타고라스 정리
중점	두 좌표의 평균	내분비 $1:1$
$m:n$ 내분점	계수를 엇갈려 곱한 뒤 $m+n$ 으로 나눔	닮음비
무게중심	세 좌표의 평균	중선의 $2:1$ 성질

시험 포인트

• 거리 공식에서 좌표를 빼는 순서는 상관없다. 어차피 제곱하므로 $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$ 다. 부호 때문에 답이 달라질까 걱정하지 않아도 된다.
• 내분점 공식의 계수 위치가 가장 흔한 실수다. $\mathrm{A}$ 의 좌표 $x_1$ 에는 먼 쪽 비율 $n$ 이 곱해진다. 헷갈리면 $m : n = 1 : 1$ 을 넣어 중점이 나오는지로 검산하자.
• ”$\mathrm{P}$ 가 선분을 $2 : 1$ 로 내분한다”에서 앞의 $2$ 가 어느 쪽 조각인지 문장을 정확히 읽자. $\overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{PB}} = 2 : 1$ 이라는 뜻이다.
• 좌표가 주어진 도형 문제는 그림을 대충 그려 놓고 계산하면 실수가 크게 줄어든다. 점의 위치를 눈으로 확인하면 답의 부호나 크기가 말이 되는지 바로 판단할 수 있다.

개요

일차함수와 그래프에서 우리는 $y = ax + b$ 가 직선이라는 사실을 배웠다. 그때는 식이 먼저 주어지고 그래프를 그리는 방향이었다. 이번에는 반대 방향이다. 직선에 대한 정보(지나는 점, 기울기)가 먼저 주어지고, 그 직선의 식을 세운다. 그리고 두 직선이 평행한지 수직한지, 만난다면 어디서 만나는지를 계산으로 판정한다. 도형의 관계를 식의 관계로 바꿔 읽는 연습이다.

핵심 사실

• 점과 기울기가 주어질 때: 기울기 $m$ 이고 점 $(x_1, y_1)$ 을 지나는 직선의 식은 다음과 같다.

$$y-y_1=m(x-x_1)$$

• 이 한 줄이 직선 방정식의 기본형이다. 정리하면 익숙한 $y = mx + n$ 꼴이 나온다.
• 두 점이 주어질 때: 먼저 기울기를 구한다. 세로 변화량을 가로 변화량으로 나눈 값이다.

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\quad(x_1\neq x_2)$$

• 기울기를 구한 뒤에는 위의 기본형에 두 점 중 아무 하나를 넣으면 된다. 어느 점을 넣어도 같은 식이 나온다.
• 평행 조건: 두 직선이 평행하면 기울기가 같다 — $m_1 = m_2$. 단, $y$ 절편은 달라야 한다(같으면 아예 같은 직선이다).
• 수직 조건: 두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 $-1$ 이다 — $m_1 m_2 = -1$. 한쪽 기울기가 $2$ 면 다른 쪽은 $-\dfrac{1}{2}$ 로, 뒤집고 부호를 바꾼 값이다.
• 점과 직선 사이의 거리: 점 $(x_1, y_1)$ 에서 직선 $ax + by + c = 0$ 까지의 거리는 다음과 같다.

$$d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

• 이 공식을 쓰려면 직선의 식을 반드시 $= 0$ 꼴로 먼저 정리해야 한다.
• 특수한 직선: $x = k$ 는 세로선으로 기울기를 정의할 수 없고, $y = k$ 는 가로선으로 기울기가 $0$ 이다.

비교표

주어진 조건	세우는 식
기울기 $m$, 점 $(x_1, y_1)$	$y - y_1 = m(x - x_1)$
두 점	기울기를 먼저 구한 뒤 위 식에 대입
두 직선이 평행	$m_1 = m_2$
두 직선이 수직	$m_1 m_2 = -1$
점에서 직선까지 거리	$\dfrac{\lvert ax_1+by_1+c \rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}$

시험 포인트

• 두 직선의 교점을 구하는 것은 두 식을 연립방정식으로 푸는 것과 같다. 새로운 기술이 아니라 중학교에서 하던 계산이다.
• 수직 조건을 $m_1 m_2 = 1$ 로 잘못 외우는 실수가 많다. 값은 $-1$ 이고, 부호가 바뀌므로 두 기울기 중 하나는 반드시 음수다.
• 세로선 $x = k$ 는 기울기가 없다. “모든 직선은 $y = mx + n$ 으로 쓸 수 있다”는 생각은 틀렸고, 그래서 세로선이 답인 경우를 빠뜨리기 쉽다.
• 거리 공식에서 절댓값을 빼먹으면 음수 거리가 나온다. $y = mx + n$ 을 $ax + by + c = 0$ 으로 옮기지 않고 그대로 대입하는 것도 흔한 실수다.