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행렬과 그 연산

수를 직사각형으로 늘어놓은 행렬의 덧셈·실수배·곱셈을 익히고, 곱셈에서 교환법칙이 깨지는 것을 확인한다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

덧셈·실수배에는 배점이 없다. 곱셈이 전부다. 곱셈 가능 조건, 행 × 열 계산, 그리고

A B \neq = B A

를 전제로 한 전개다.

(A + B)^{2}

을 전개하는 문항이 반드시 나온다. 곱셈 하나에 시간을 몰아 준다.

여기서 무너집니다

(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}

이라 쓴다. 수에서 하던 전개를 그대로 옮긴 것이다. 분배부터 다시 시킨다.

(A + B) (A + B) = A^{2} + A B + B A + B^{2}

까지 적어 놓고

A B

와

B A

를 합쳐도 되는지 되묻는다. 합칠 수 없다는 것을 자기 식에서 발견하게 하면 남는다.

확인 질문

$(A + B)^{2}$ 을 전개하면 무엇입니까? $2 A B$ 로 합칠 수 없는 이유는 무엇입니까?

$A^{2} + A B + B A + B^{2}$ 와 " $A B$ 와 $B A$ 가 다를 수 있어서"가 함께 나오면 통과. $2 A B$ 로 합치면 행렬을 수처럼 다루는 것이니 곱셈 문항이 전부 흔들린다.

개요

성적표나 가격표처럼 수를 가로세로로 늘어놓은 표는 어디에나 있다. 이 표 자체를 하나의 수처럼 다루기로 약속한 것이 행렬이다. 여러 개의 수를 한 덩어리로 묶어 두면, 표 전체를 한 번에 더하거나 몇 배로 늘리는 일을 기호 하나로 쓸 수 있다.

덧셈·뺄셈·실수배는 같은 자리끼리 하면 되므로 어렵지 않다. 새로운 것은 곱셈이다. 자리끼리 곱하는 것이 아니라 왼쪽 행렬의 행과 오른쪽 행렬의 열을 맞물려 곱하고 더한다. 이 규칙 때문에 행렬 곱셈에서는 우리가 당연하게 여기던 $AB = BA$ 가 성립하지 않는다. 이 소단원의 핵심은 그 낯선 성질을 받아들이는 데 있다.

핵심 사실

정의

행렬은 수를 직사각형 모양으로 배열하고 괄호로 묶은 것이다. 가로줄을 행, 세로줄을 열이라 하고, 행이 $m$ 개 열이 $n$ 개면 $m \times n$ 행렬이라 한다.

$i$ 행 $j$ 열에 있는 수를 $(i, j)$ 성분이라 하고 $a_{ij}$ 로 쓴다. 두 행렬이 같다는 것은 꼴이 같고 모든 대응하는 성분이 같다는 뜻이다.
덧셈·뺄셈·실수배는 같은 자리끼리 한다. 꼴이 다른 두 행렬은 더할 수 없다.

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end{pmatrix}

곱셈은 왼쪽의 행과 오른쪽의 열을 차례로 곱해 더한다.

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}

곱할 수 있는 조건: $(m \times n)$ 과 $(n \times p)$ 처럼 앞의 열 수와 뒤의 행 수가 같아야 하고, 결과는 $m \times p$ 행렬이다. 이 조건이 안 맞으면 곱 자체가 정의되지 않는다.
교환법칙이 성립하지 않는다. 일반적으로 $AB \ne BA$ 이며, $AB$ 는 되는데 $BA$ 는 아예 정의되지 않을 수도 있다.
$AB = O$ 라고 해서 $A = O$ 또는 $B = O$ 인 것은 아니다. 수에서는 당연하던 성질이 행렬에서는 깨진다. 그래서 행렬 방정식에서 양변을 “나누는” 조작은 함부로 할 수 없다.
영행렬 $O$ 는 모든 성분이 $0$ 인 행렬로 덧셈의 $0$ 노릇을 하고, 단위행렬 $E$ 는 대각선만 $1$ 이고 나머지가 $0$ 인 정사각행렬로 곱셈의 $1$ 노릇을 한다. 곧 $AE = EA = A$ 다.
결합법칙 $(AB)C = A(BC)$ 와 분배법칙 $A(B+C) = AB + AC$ 는 성립한다. 깨지는 것은 교환법칙뿐이다.

곱셈 규칙이 왜 하필 저렇게 생겼는지는 점을 하나 옮겨 보면 드러납니다. 아래에서 네 성분을 밀면 도형이 돌고, 뒤집히고, 늘어납니다. 행렬 하나가 변환 하나를 통째로 적어 둔 것이고 곱셈은 그 변환을 점에 실제로 적용하는 계산입니다. 표시된 점 하나의 행 × 열 계산이 숫자로 함께 나오니 손으로 한 것과 맞춰 보세요. 평행이동까지 걸어 놓고 순서를 바꾸면 $AB \ne BA$ 가 도형의 도착점으로 나타납니다.

a0 b-1 c1 d0

회전각 θ 90° 평행이동 x 0 평행이동 y 0

행렬은 0, -1, 1, 0 이고 평행이동은 0, 0 입니다. 행렬을 곱한 뒤 옮깁니다. 점 (2, 3) 은 (-3, 2) 로 갑니다.

완료로 두면 고1 공통수학 목차에 표시됩니다.