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유리함수와 무리함수

분수 꼴과 근호 꼴의 함수를 표준형으로 고쳐, 점근선과 시작점을 잡아 그래프를 그린다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

그래프를 예쁘게 그리는 것보다 표준형으로 고치는 첫 수에서 갈린다.

\frac{2 x + 1}{x - 1}

을 쪼개지 못하면 점근선 문항이 통째로 날아간다. 무리함수 쪽은 정의역 조건을 빠뜨리는지만 보면 된다.

여기서 무너집니다

분자를 분모로 나누는 조작 자체에서 손이 멈춘다(다항식 나눗셈이 흐릿하다). 식으로 설명하지 말고 숫자로 먼저 보인다.

\frac{7}{3} = 2 + \frac{1}{3}

과 똑같은 일이라고 하면 그 자리에서 손이 움직인다.

확인 질문

$\frac{2 x + 1}{x - 1}$ 의 점근선을 구하세요.

$x = 1$ , $y = 2$ . $y = 2$ 를 못 내면 표준형 변형이 안 된 것이고, $y = 0$ 이라 답하면 기본형 $\frac{k}{x}$ 와 혼동하고 있는 것이다.

개요

지금까지 다룬 함수는 다항식으로 쓰인 것들이었다. 여기서는 두 가지가 새로 들어온다: 분모에 $x$ 가 있는 유리함수와 근호 안에 $x$ 가 있는 무리함수다.

둘 다 그래프를 그리는 요령은 같다. 평행이동한 기본형으로 고쳐 쓰는 것이다. 유리함수는 $y = \dfrac{k}{x}$ 를, 무리함수는 $y = \sqrt{x}$ 를 옮긴 모양일 뿐이라, 도형의 이동에서 익힌 ” $x$ 대신 $x - p$ ” 규칙을 그대로 쓰면 된다.

새로 챙길 것은 정의역의 제한이다. 분모는 $0$ 이 될 수 없고 근호 안은 음수가 될 수 없다. 이 제한이 곧 그래프의 점근선과 시작점을 결정한다.

핵심 사실

유리함수는 $y = \dfrac{(\text{다항식})}{(\text{다항식})}$ 꼴이고, 분모가 상수가 아니면 정의역은 분모를 $0$ 으로 만드는 값을 뺀 실수 전체다.
기본형 $y = \dfrac{k}{x}$ 의 그래프는 원점에 대해 대칭인 쌍곡선이고, 점근선은 $x = 0$ 과 $y = 0$ 이다. $k > 0$ 이면 제1·3사분면, $k < 0$ 이면 제2·4사분면에 놓인다.
표준형 $y = \dfrac{k}{x - p} + q$ 는 기본형을 $x$ 축으로 $p$ , $y$ 축으로 $q$ 만큼 옮긴 것이며 점근선은 $x = p$ , $y = q$ 다.
일차식 분수는 나눗셈으로 표준형으로 고친다. 분자를 분모로 나눠 몫과 나머지로 쪼개는 것이 요령이다.

y = \frac{2x + 1}{x - 1} = \frac{2(x-1) + 3}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} + 2

위 함수의 점근선은 $x = 1$ , $y = 2$ 다. 표준형으로 고치기 전에는 보이지 않던 정보다.
이 나눗셈을 문자로 한 번 해 두면 계수에서 바로 읽힌다. $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ 의 점근선은 아래와 같다.

x = -\frac{d}{c},\qquad y = \frac{a}{c}

분모를 $0$ 으로 만드는 값이 수직 점근선이고, $x$ 계수의 비가 수평 점근선이다. 단 $bc = ad$ 이면 약분되어 상수함수가 되므로 점근선을 말할 수 없다. 유도는 유리함수의 점근선 편에 있다.

무리함수는 근호 안에 문자가 든 함수다. $y = \sqrt{ax + b} + c$ 의 정의역은 근호 안 $\ge 0$ 인 $x$ 의 범위이고, 치역은 $y \ge c$ 다.
기본형 $y = \sqrt{x}$ 의 그래프는 원점에서 시작해 오른쪽 위로 완만하게 뻗는 곡선이다. $y = \sqrt{x - p} + q$ 는 그 시작점이 $(p, q)$ 로 옮겨진 모양이다.
$a$ 의 부호가 방향을 정한다. $y = \sqrt{-x}$ 는 $y$ 축에 대해 뒤집혀 왼쪽으로 뻗고, 앞에 $-$ 가 붙은 $y = -\sqrt{x}$ 는 $x$ 축에 대해 뒤집혀 아래로 뻗는다.
$y = \sqrt{x}$ 는 $y = x^2\ (x \ge 0)$ 의 역함수다. 두 그래프가 직선 $y = x$ 에 대해 대칭인 것도 역함수의 성질 그대로다.
무리방정식·무리부등식을 풀 때 양변을 제곱하면 원래 식에는 없던 해가 딸려 올 수 있다. 반드시 원래 식에 넣어 검산한다.

여기까지가 전부 “기본형을 옮긴 것”이라는 이야기였습니다. 아래에서 $p$ 와 $q$ 를 밀어 보세요. 점선으로 그린 두 점근선이 그래프를 데리고 함께 움직입니다. $k$ 를 음수로 넘기면 그래프가 다른 두 사분면으로 건너가고, 무리함수로 바꾸면 점근선 대신 시작점 하나가 같은 자리에 남습니다. √(x − p) 와 √(p − x) 를 번갈아 눌러 보면 시험 포인트의 마지막 항목이 눈으로 갈립니다.

k (분자 · 벌어짐) p (점근선 x = p) q (점근선 y = q)

유리함수입니다. 점근선은 x = 1.0 와 y = 2.0 이고 두 점근선의 교점 (1.0, 2.0) 에 대해 대칭입니다. k 가 3.0 이므로 그래프는 점근선 교점을 기준으로 제1·3사분면 쪽 에 놓입니다. 정의역은 x = 1.0 을 뺀 실수 전체입니다.

완료로 두면 고1 공통수학 목차에 표시됩니다.