함수와 그래프

개요

중학교에서 함수는 ”$x$ 가 정해지면 $y$ 가 하나로 정해지는 관계”였고, 우리는 일차함수와 이차함수를 그렇게 배웠다. 여기서는 같은 이야기를 집합의 언어로 다시 쓴다. 두 집합 사이의 대응으로 보면, 함수가 어떤 성질을 가지느냐를 훨씬 정확하게 말할 수 있기 때문이다.

새로 배우는 것은 세 가지다. 함수를 잇따라 적용하는 합성함수, 대응을 거꾸로 돌리는 역함수, 그리고 역함수가 존재하려면 원래 함수가 일대일대응이어야 한다는 사실이다. 역함수의 그래프가 원래 그래프를 직선 $y = x$ 에 대해 뒤집은 모양이라는 점은 지수함수와 로그함수에서 그대로 다시 쓰인다.

핵심 사실

• 함수 $f : X \to Y$ 는 정의역 $X$ 의 각 원소에 공역 $Y$ 의 원소가 오직 하나씩 대응하는 관계다. 하나도 대응하지 않거나 둘 이상 대응하면 함수가 아니다.
• 치역은 실제로 대응된 값들의 집합이며 공역의 부분집합이다. 공역과 치역이 같을 필요는 없다.
• 일대일함수는 서로 다른 원소가 서로 다른 값으로 가는 함수($x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$)이고, 여기에 치역 = 공역까지 만족하면 일대일대응이다.
• 그래프로 판정: 세로선을 그어 그래프와 두 번 이상 만나면 함수가 아니고, 가로선을 그어 두 번 이상 만나면 일대일함수가 아니다.

이 판정을 손으로 해 보세요. 아래에서 a 를 0 에 두면 직선입니다. 어떤 높이로 가로선을 그어도 딱 한 번 만나므로 일대일함수이고, 그래서 역함수가 있습니다. 그런데 a 를 조금이라도 0 에서 벗어나게 밀면 포물선이 되고, 꼭짓점 위쪽으로 가로선을 그으면 두 번 만납니다. 그 순간 일대일함수가 깨지고 역함수도 사라집니다. $y = x^2$ 의 역함수를 만들려면 $x \ge 0$ 처럼 정의역을 잘라야 하는 이유가 이것입니다.

직선: 일대일대응포물선: 일대일이 깨진다살짝만 휘게

a = 0.0b = 1.0c = 0.0

a = 0 이라 이차식이 아니다. 판별식도 근의 합과 곱도 여기서는 뜻이 없다

a (구부러짐) b (기울기) c (y절편)

직선입니다. 기울기 1.0, y절편 0.0.

• 합성함수 $(g \circ f)(x) = g(f(x))$: $f$ 를 먼저 적용하고 그 결과에 $g$ 를 적용한다. 오른쪽부터 작용한다는 순서가 핵심이다.
• 합성은 결합법칙은 성립하지만 교환법칙은 성립하지 않는다. 일반적으로 $g \circ f \ne f \circ g$ 다(행렬의 곱셈과 같은 사정이다).
• 역함수 $f^{-1}$ 는 $y = f(x)$ 의 대응을 거꾸로 돌린 함수로, $f$ 가 일대일대응일 때만 존재한다.

$$y = f(x) \iff x = f^{-1}(y),\qquad (f^{-1} \circ f)(x) = x$$

• 역함수 구하는 순서: ① $y = f(x)$ 를 $x$ 에 대해 푼다 ② $x$ 와 $y$ 를 맞바꾼다. $y = 2x + 3$ 이면 $x = \dfrac{y-3}{2}$ 이므로 $f^{-1}(x) = \dfrac{x-3}{2}$ 다.
• 그래프의 대칭: $y = f(x)$ 와 $y = f^{-1}(x)$ 의 그래프는 직선 $y = x$ 에 대해 대칭이다. 그래서 두 그래프의 교점은 대개 $y = x$ 위에서 찾는다.