확률과 통계

개요

공통수학1의 순열과 조합에서 우리는 “서로 다른 것을 뽑아 나열하거나 뽑기만 하는” 두 가지 셈법을 배웠다. 확률과 통계는 그 위에 조건이 붙은 경우들을 얹는다.

새로 다루는 것은 넷이다. 한 줄이 아니라 둥글게 앉히는 원순열, 같은 것을 여러 번 골라도 되는 중복순열, 구슬처럼 똑같은 것이 섞여 있는 순열, 그리고 순서 없이 중복을 허용하는 중복조합이다. 공식은 넷뿐이지만 문제에서 어느 것인지 알아보는 일이 훨씬 어렵다. 그래서 이 소단원의 진짜 목표는 공식 암기가 아니라 “무엇이 다른가”를 묻는 습관이다.

핵심 사실

• 원순열: $n$ 개를 원형으로 배열하는 경우의 수다. 한 사람을 기준으로 고정하면 나머지를 한 줄로 세우는 문제가 된다.

$$\frac{n!}{n} = (n-1)!$$

• 회전해서 같아지는 배열을 하나로 보기 때문에 $n$ 으로 나눈다. $4$ 명이 원탁에 앉는 방법은 $3! = 6$ 가지다.
• 중복순열 $_n\Pi_r$: 서로 다른 $n$ 개에서 중복을 허락해 $r$ 개를 뽑아 나열한다. 매 자리마다 $n$ 가지를 고르므로

$$_n\Pi_r = n^r$$

• 예를 들어 $0$ 부터 $9$ 까지로 만드는 네 자리 비밀번호는 $10^4 = 10000$ 가지다.
• 같은 것이 있는 순열: $n$ 개 중 같은 것이 각각 $p$ 개, $q$ 개, … 있을 때, 같은 것끼리 자리를 바꾼 만큼을 나눈다.

$$\frac{n!}{p!\,q!\cdots}$$

• "$\text{MATH}$" 는 $4! = 24$ 가지지만 "$\text{LEVEL}$" 은 $\text{L}$ 두 개·$\text{E}$ 두 개가 겹쳐 $\dfrac{5!}{2!\,2!} = 30$ 가지다.
• 중복조합 $_n\mathrm{H}_r$: 서로 다른 $n$ 개에서 중복을 허락해 순서 없이 $r$ 개를 뽑는다. 칸막이를 세우는 문제로 바꾸면 조합이 된다.

$$_n\mathrm{H}_r = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_r$$

• 세 종류의 사탕에서 다섯 개를 고르는 방법은 $_3\mathrm{H}_5 = {}_7\mathrm{C}_5 = 21$ 가지다.
• 판단의 두 물음: ① 순서를 따지는가 ② 중복을 허락하는가. 이 두 물음의 답이 정해지면 쓸 공식은 하나로 정해진다.

비교표

	순서 따짐	순서 안 따짐
중복 없음	$_n\mathrm{P}_r$	$_n\mathrm{C}_r$
중복 허용	$_n\Pi_r = n^r$	$_n\mathrm{H}_r = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_r$

유형	식	예
원순열	$(n-1)!$	원탁에 $n$ 명 앉히기
같은 것이 있는 순열	$\dfrac{n!}{p!\,q!}$	$\text{LEVEL}$ 의 배열

시험 포인트

• 원순열은 $n!$ 이 아니라 $(n-1)!$ 이다. 회전해서 겹치는 배열을 하나로 세기 때문이다. 목걸이처럼 뒤집어도 같은 경우라면 여기서 다시 $2$ 로 나눈다.
• 중복순열과 조합을 혼동하지 않는다. “비밀번호”·“신호”·“함수의 개수”처럼 자리마다 다시 고를 수 있으면 $n^r$ 이다.
• $_n\Pi_r$ 에서는 $r > n$ 이어도 된다. 중복을 허락하므로 뽑는 개수가 원소 수보다 많아도 문제가 없다. $_n\mathrm{P}_r$ 과 다른 점이다.
• 같은 것이 있는 순열은 반드시 나눈다. 같은 문자끼리 자리를 바꾼 것은 구분되지 않으므로 그 개수의 계승으로 나눠야 한다.
• 중복조합은 $_n\mathrm{H}_r = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_r$ 로 바꿔 계산한다. 아래 첨자를 $n$ 과 $r$ 중 어느 쪽에 더할지 헷갈리면, 사탕 $r$ 개와 칸막이 $n-1$ 개를 한 줄로 늘어놓는 그림을 떠올린다.
• “적어도 하나씩” 같은 조건은 먼저 하나씩 나눠 준 뒤 남은 것으로 중복조합을 세면 깔끔하다.

개요

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 는 곱셈 공식으로 외웠다. 그런데 $(a+b)^{10}$ 을 직접 곱해 전개하려면 끝이 없다. 다행히 계수에 규칙이 있다.

$(a+b)^n$ 은 $(a+b)$ 를 $n$ 번 곱한 것이다. 전개할 때 각 괄호에서 $a$ 나 $b$ 중 하나를 골라 곱하므로, $b$ 를 $r$ 번 고르는 방법의 수 $_n\mathrm{C}_r$ 이 그대로 $a^{n-r}b^r$ 의 계수가 된다. 즉 이항정리는 앞 소단원의 조합이 대수식에 나타난 것이다. 세는 문제와 전개 문제가 같은 뿌리라는 점이 이 소단원의 재미다.

핵심 사실

• 이항정리: 자연수 $n$ 에 대해

$$(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_r\, a^{n-r} b^{r}$$

• 일반항은 $_n\mathrm{C}_r\,a^{n-r}b^r$ 이고, 이 $_n\mathrm{C}_r$ 을 이항계수라 한다. 특정 항만 필요할 때는 전개하지 말고 일반항에서 $r$ 을 찾는다.
• 예를 들어 $(x+2)^5$ 에서 $x^3$ 항은 $x$ 의 지수가 $3$ 이므로 $r = 2$ 이고, 계수는 $_5\mathrm{C}_2 \cdot 2^2 = 10 \times 4 = 40$ 이다.
• 파스칼의 삼각형: 이항계수를 $n$ 별로 늘어놓으면 위 두 수의 합이 아래 수가 된다. 이는 조합의 성질 $_n\mathrm{C}_r = {}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_r$ 그 자체다.
• 계수의 합: $a = b = 1$ 을 넣으면 모든 이항계수의 합이 나온다.

$${}_n\mathrm{C}_0 + {}_n\mathrm{C}_1 + \cdots + {}_n\mathrm{C}_n = 2^n$$

• 이는 원소가 $n$ 개인 집합의 부분집합 개수가 $2^n$ 인 것과 같은 사실이다. $r$ 개짜리 부분집합이 $_n\mathrm{C}_r$ 개씩 있기 때문이다.
• 교대합: $a = 1,\ b = -1$ 을 넣으면 $_n\mathrm{C}_0 - {}_n\mathrm{C}_1 + \cdots = 0$ 이다. 홀수 개 뽑는 방법과 짝수 개 뽑는 방법의 수가 같다는 뜻이다.
• $(a - b)^n$ 은 $b$ 자리에 $-b$ 를 넣은 것이므로 부호가 번갈아 나타난다. 일반항은 $_n\mathrm{C}_r\,a^{n-r}(-b)^r$ 이다.

비교표

묻는 것	하는 일
$x^k$ 항의 계수	일반항에서 지수를 맞춰 $r$ 을 정한 뒤 계수만 계산
상수항	$x$ 의 지수가 $0$ 이 되는 $r$ 을 찾는다
모든 계수의 합	문자에 $1$ 을 대입
계수의 교대합	문자에 $-1$ 을 대입

시험 포인트

• $r$ 은 뒤 항($b$)의 지수다. $a$ 의 지수는 $n - r$ 이다. 둘을 뒤바꿔 $_n\mathrm{C}_r$ 을 잘못 고르는 실수가 가장 흔하다.
• 계수에는 상수 부분도 곱한다. $(x+2)^5$ 에서 $x^3$ 의 계수는 $_5\mathrm{C}_2$ 만이 아니라 $_5\mathrm{C}_2 \cdot 2^2$ 다. $2^2$ 를 빠뜨리기 쉽다.
• $(a-b)^n$ 의 부호는 $(-1)^r$ 로 결정된다. $r$ 이 홀수면 음수다.
• 분수나 역수가 섞인 식($x + \frac{1}{x}$ 꼴)은 일반항의 지수를 정리해 $0$ 이 되는 $r$ 을 찾으면 상수항이 나온다.
• 계수의 합을 묻는 문제는 대입이 가장 빠르다. 전개할 필요 없이 $x = 1$ 을 넣으면 끝난다.

개요

중2에서 배운 확률은 “일어날 수 있는 모든 경우 중 그 사건이 일어나는 경우의 비율”이었다. 여기서도 뜻은 똑같다. 달라지는 것은 다루는 언어다.

이제 사건을 집합으로 쓴다. 그러면 ”$A$ 또는 $B$“는 $A \cup B$, ”$A$ 그리고 $B$“는 $A \cap B$, ”$A$ 가 아님”은 $A^c$ 가 되고, 집합에서 익힌 식이 그대로 확률의 식이 된다. 확률의 덧셈정리 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ 가 원소 개수 공식과 판박이인 것도 그 때문이다. 경우의 수를 세는 힘(여러 가지 순열과 조합)이 그대로 확률을 구하는 힘이 된다.

핵심 사실

• 시행은 같은 조건에서 되풀이할 수 있고 결과가 우연에 따라 정해지는 실험이며, 그 결과 전체의 집합이 표본공간 $S$, 그 부분집합이 사건이다.
• 수학적 확률: 표본공간의 모든 근원사건이 같은 정도로 일어날 때

$$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$$

• 통계적 확률은 시행을 아주 많이 반복했을 때의 상대도수다. 시행 횟수를 늘리면 수학적 확률에 가까워진다.

• 확률의 기본 성질: 모든 사건 $A$ 에 대해 $0 \le P(A) \le 1$ 이고, $P(S) = 1$, $P(\varnothing) = 0$ 이다.

• 덧셈정리: 두 사건이 동시에 일어날 수 있으면 겹치는 만큼을 뺀다.

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

• 배반사건은 동시에 일어날 수 없는 사건($A \cap B = \varnothing$)이며, 이때는 $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ 로 그냥 더한다.
• 여사건: $A$ 가 일어나지 않을 확률은

$$P(A^c) = 1 - P(A)$$

• “적어도 하나” 를 묻는 문제는 거의 항상 여사건이 빠르다. “적어도 하나 성공”의 반대는 “전부 실패” 하나뿐이기 때문이다.
• 확률을 구할 때는 분자와 분모를 같은 기준으로 센다. 순서를 따져 분자를 세었으면 분모도 순서를 따져야 한다. 둘 중 하나만 조합으로 세면 답이 어긋난다.

바로 위 문장을 직접 확인해 보자. 아래 막대가 실제로 굴려 나온 상대도수이고, 그 위에 얹힌 가로선이 수학적 확률이다. 시행 횟수를 늘릴수록 막대가 선에 붙는 것 — 이것이 통계적 확률이 수학적 확률로 다가간다는 말의 뜻이다.

두 주사위의 합 1,000번두 주사위의 합 10,000번

주사위 한 개동전 10개 중 앞면 수주사위 두 개의 합

1회 10회 1,000회 10,000회 초기화

시행 횟수

0

이론값과의 최대 차이

—

가로선이 이론 확률입니다. 몇 번 굴려서는 막대가 선과 한참 어긋납니다.

비교표

말	집합	확률
$A$ 또는 $B$	$A \cup B$	$P(A)+P(B)-P(A \cap B)$
$A$ 그리고 $B$	$A \cap B$	(독립이면 $P(A)P(B)$)
$A$ 가 아님	$A^c$	$1 - P(A)$
동시에 불가능	$A \cap B = \varnothing$	배반 — 그냥 더함

시험 포인트

• 덧셈정리에서 교집합을 빼는 것을 잊지 않는다. 배반인지 아닌지를 먼저 확인하는 것이 순서다.
• “배반”과 “독립”은 다른 말이다. 배반은 함께 일어날 수 없다는 뜻이고, 독립은 한쪽이 다른 쪽에 영향을 주지 않는다는 뜻이다. 확률이 $0$ 이 아닌 두 사건이 배반이면 오히려 독립일 수 없다.
• “적어도”가 보이면 여사건을 먼저 떠올린다. 경우를 하나씩 더하다 보면 빠뜨리기 쉽다.
• 분자·분모의 셈 기준을 통일한다. 공을 꺼내는 문제에서 같은 색 공을 구별할지 말지를 정했으면 끝까지 그 기준으로 센다.
• 확률이 $1$ 을 넘거나 음수면 반드시 틀린 것이다. 계산이 끝나면 범위부터 확인한다.

개요

주사위를 던져 나온 눈이 짝수라는 것을 알았다고 하자. 이때 그 눈이 $6$ 일 확률은 얼마인가? 아무 정보도 없을 때는 $\frac{1}{6}$ 이지만, “짝수”라는 사실을 알고 나면 가능한 경우가 $2, 4, 6$ 셋으로 줄어 $\frac{1}{3}$ 이 된다.

이렇게 어떤 사건이 일어났다는 정보가 주어졌을 때의 확률이 조건부확률이다. 핵심은 한 문장으로 요약된다 — 표본공간이 줄어든다. 조건이 주어지면 세는 무대 자체가 좁아지고, 그래서 분모가 $P(A)$ 로 바뀐다.

조건부확률을 실제로 계산할 때 쓰는 도구가 지금부터 배울 곱셈정리다. 그런데 정보를 얻어도 확률이 전혀 달라지지 않는 특별한 경우도 있다 — 그 경우가 다음 소단원에서 다룰 독립이다.

핵심 사실

• 조건부확률: 사건 $A$ 가 일어났을 때 사건 $B$ 가 일어날 확률은 ($P(A) > 0$)

$$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$

• 분모가 $P(S) = 1$ 에서 $P(A)$ 로 바뀐 것이 전부다. $A$ 가 새로운 표본공간이 된 셈이다.
• 곱셈정리: 위 식의 양변에 $P(A)$ 를 곱하면

$$P(A \cap B) = P(A)\,P(B \mid A)$$

• 이것은 “먼저 $A$ 가 일어나고, 그다음 그 상황에서 $B$ 가 일어난다”는 순서대로 읽으면 자연스럽다. 공을 연달아 꺼내는 문제가 대표적이다.
• 곱셈정리는 어느 쪽을 먼저 조건으로 잡아도 성립한다.

$$P(A \cap B) = P(A)\,P(B \mid A) = P(B)\,P(A \mid B)$$

• 조건을 고정한 채로도 여사건 규칙이 그대로 성립한다.

$$P(B^c \mid A) = 1 - P(B \mid A)$$

분모가 되는 표본공간이 이미 $A$ 로 좁혀져 있으므로, 그 안에서는 보통의 여사건과 똑같이 다룰 수 있다.

비교표

	배반	독립
뜻	함께 일어날 수 없다	서로 영향을 주지 않는다
식	$P(A \cap B) = 0$	$P(A \cap B) = P(A)P(B)$
예	주사위 한 번에 "$1$"과 "$2$"	동전과 주사위를 각각 던지기

시험 포인트

• $P(B \mid A)$ 의 분모는 $P(A)$ 다. 조건으로 주어진 쪽이 분모다. $P(A \mid B)$ 와 뒤바꾸면 완전히 다른 값이 된다.
• “~인 것 중에서” 라는 표현이 보이면 조건부확률이다. “불량품인 것 중 A공장 제품일 확률”의 분모는 불량품 전체다.
• 배반과 독립을 섞지 않는다. 배반이면 $P(A \cap B) = 0$ 이고, 독립이면 $P(A)P(B)$ 다. 둘은 함께 성립할 수 없다(확률이 $0$ 이 아닌 한).
• 비복원추출에서 분모를 그대로 두지 않는다. 두 번째로 꺼낼 때는 전체 개수가 하나 줄어 있다.
• 표를 그리면 대부분 풀린다. 두 조건으로 나눈 $2 \times 2$ 표에 인원수를 채워 넣으면 조건부확률이 눈으로 보인다.

개요

04에서 조건부확률 $P(B \mid A)$ 를 배웠다. 그러면 자연스러운 물음이 하나 생긴다 — $A$ 가 일어났다는 정보를 얻어도 $B$ 의 확률이 조금도 바뀌지 않는 경우가 있을까? 있다. 그런 경우를 독립이라 부른다.

여기서 조심할 것이 있다. 03에서 배운 배반과 이번의 독립은 전혀 다른 말이다. 배반은 “함께 일어날 수 없다”는 뜻이고 독립은 “서로 영향을 주지 않는다”는 뜻이다. 오히려 확률이 $0$ 이 아닌 두 사건이 배반이면, 한쪽이 일어나는 순간 다른 쪽은 절대 일어날 수 없으므로 서로 강하게 영향을 준다 — 즉 배반은 독립의 반대에 가깝다.

독립의 가장 쉬운 예가 같은 시행을 되풀이하는 상황이다. 공을 꺼내 색을 보고 도로 넣으면(복원추출) 다음 시행의 조건이 똑같이 유지되어 확률이 변하지 않고, 도로 넣지 않으면(비복원추출) 남은 개수가 바뀌어 확률이 달라진다. 이렇게 같은 시행을 서로 영향 없이 여러 번 반복하는 것이 독립시행이고, 그 확률을 구하는 공식이 이 소단원의 목적지다. 그리고 이 식은 다음 소단원 확률분포에서 배울 이항분포의 확률 그 자체다.

핵심 사실

• 두 사건의 독립: $P(B \mid A) = P(B)$ 일 때, 곧 $A$ 가 일어났다는 정보가 $B$ 의 확률에 아무 영향도 주지 않을 때 두 사건 $A$, $B$ 는 독립이다. 곱셈정리에 대입하면

$$P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$$

이 식은 $A$, $B$ 에 대해 대칭이므로, 독립이면 반대로 $P(A \mid B) = P(A)$ 도 함께 성립한다.

• 독립과 배반은 다른 말이다. 배반은 $P(A \cap B) = 0$, 독립은 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ 다. 두 조건은 확률이 $0$ 이 아닌 한 동시에 성립할 수 없다.
• 복원추출은 독립, 비복원추출은 종속이다. 꺼낸 것을 도로 넣으면 두 번째 시행이 첫 번째의 영향을 받지 않지만, 도로 넣지 않으면 전체 구성이 바뀌어 두 번째 확률은 04에서 배운 조건부확률로 계산해야 한다.
• 독립시행: 같은 시행을 조건을 바꾸지 않고 되풀이하는 것이다. 한 번의 시행에서 사건 $A$ 가 일어날 확률이 $p$ 일 때, 독립적으로 $n$ 번 시행해 $A$ 가 정확히 $r$ 번 일어날 확률은

$${}_n\mathrm{C}_r\,p^{r}(1-p)^{n-r}$$

이다. 어느 순서로 성공하든 확률은 $p^r(1-p)^{n-r}$ 로 같으므로, 그런 순서가 몇 가지인지($_n\mathrm{C}_r$)를 곱해 다 더한 것과 같다. 이항정리의 일반항과 모양이 같은 것도 이 때문이다.

• 이 확률에 이름이 하나 더 있다 — $n$ 번의 독립시행에서 성공 횟수를 확률변수 $X$ 로 두면, 위 식은 바로 $P(X = r)$ 이고 $X$ 는 이항분포 $\mathrm{B}(n, p)$ 를 따른다. 다음 소단원은 이 $X$ 의 평균과 분산을 구하는 데서 시작한다.

비교표

추출 방식	두 번째 시행	확률 계산
복원	영향 없음(독립)	매번 같은 확률을 그대로 곱함
비복원	영향 있음(종속)	조건부확률로 다시 계산

상황	확률
정확히 $r$ 번 성공 (순서 무관)	${}_n\mathrm{C}_r\,p^r(1-p)^{n-r}$
정해진 특정 순서로 $r$ 번 성공	$p^r(1-p)^{n-r}$ (경우의 수를 곱하지 않는다)

시험 포인트

• 독립시행에서 $_n\mathrm{C}_r$ 을 빠뜨리지 않는다. $p^r(1-p)^{n-r}$ 만 쓰면 성공 순서가 하나로 고정된 경우만 센 것이다.
• “몇 번째에 성공”처럼 순서가 못박힌 문제는 반대로 $_n\mathrm{C}_r$ 을 곱하지 않는다. “첫 번째와 세 번째에만 성공” 같은 문제는 그 순서 하나뿐이므로 $p^r(1-p)^{n-r}$ 이 그대로 답이다.
• 독립과 배반을 섞지 않는다. “동시에 일어날 수 없다”와 “서로 영향이 없다”를 같은 말로 쓰면 곱셈정리 자체가 틀어진다.
• 복원인지 비복원인지 문제 지문에서 먼저 확인한다. “다시 넣는다”는 말이 있으면 독립이라 그대로 곱하고, 없으면 04의 조건부확률로 넘어가야 한다.
• 동전과 주사위처럼 서로 다른 대상의 시행은 대부분 독립이다. 굳이 확인할 필요 없이 각 확률을 곱하면 된다.

개요

지금까지는 “이 사건이 일어날 확률”을 하나씩 구했다. 그런데 주사위를 $100$ 번 던져 나온 눈의 합처럼 결과가 수로 나오는 시행이라면, 값마다 확률을 따로 묻기보다 값 전체의 분포를 한눈에 보는 편이 낫다.

시행의 결과에 수를 대응시킨 것이 확률변수이고, 그 값과 확률의 대응 관계가 확률분포다. 이 소단원에서 다루는 확률변수는 값이 $0, 1, 2, \dots$ 처럼 셀 수 있는 이산확률변수이고, 분포를 요약하는 두 수가 **평균(기댓값)**과 분산인데, 이는 중3에서 배운 대푯값과 산포도를 확률의 세계로 옮긴 것이다.

값이 셀 수 없이 구간 전체에 퍼진 연속확률변수와, 그중 가장 중요한 정규분포는 다음 소단원 연속확률변수와 정규분포에서 잇는다.

핵심 사실

• 확률변수 $X$ 는 표본공간의 각 결과에 실수를 대응시킨 것이고, $X$ 가 가질 수 있는 값과 그 확률의 대응이 확률분포다.
• 이산확률변수의 평균·분산·표준편차

$$E(X) = \sum x_i p_i,\qquad V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2,\qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$

• 일차식으로 바꾸면 평균은 그대로 따라가고 분산은 계수의 제곱만큼 커진다.

$$E(aX+b) = aE(X)+b,\qquad V(aX+b) = a^2V(X)$$

• 이항분포 $\mathrm{B}(n, p)$: 독립시행을 $n$ 번 해서 성공 횟수를 $X$ 라 하면

$$E(X) = np,\qquad V(X) = np(1-p)$$

비교표

구하는 값	공식	주의할 점
$V(X)$ (일반)	$E(X^2) - \{E(X)\}^2$	순서를 바꾸면 음수
$V(aX+b)$	$a^2 V(X)$	$b$ 는 영향 없음
이항분포 $E(X)$	$np$	—
이항분포 $V(X)$	$np(1-p)$	$(1-p)$ 를 빠뜨리기 쉬움

시험 포인트

• 분산은 $E(X^2) - \{E(X)\}^2$ 다. $E(X^2)$ 과 $\{E(X)\}^2$ 은 전혀 다른 값이다. 순서를 바꾸면 음수가 나온다.
• $V(aX+b)$ 에서 $b$ 는 영향이 없고 $a$ 는 제곱된다. 평행이동은 흩어진 정도를 바꾸지 않기 때문이다.
• 이항분포의 분산은 $np(1-p)$ 다. $np$ 까지만 쓰는 실수가 잦다.
• 확률분포표를 만들 때 확률의 합이 $1$ 인지부터 확인한다. $\sum p_i = 1$ 이 깨졌다면 표를 잘못 세운 것이다.
• $E(X)$ 를 구할 땐 $x_i$ 와 $p_i$ 를 곱해서 더하고, $E(X^2)$ 을 구할 땐 $x_i^2$ 과 $p_i$ 를 곱해서 더한다. 확률까지 제곱해 $x_i^2 p_i^2$ 을 계산하는 실수가 잦다.

개요

이산확률변수와 이항분포에서는 확률변수의 값이 $0, 1, 2, \dots$ 처럼 셀 수 있는 경우만 다뤘다. 그런데 키·몸무게·측정 오차처럼 값이 어떤 구간 안의 실수 전부를 채우는 경우도 있다. 이런 연속확률변수는 특정한 한 값이 나올 확률을 따로 물어봐야 소용이 없다 — 값이 무한히 많아 하나하나에 확률을 배정할 수 없기 때문이다. 대신 어떤 구간에 들어갈 확률을 그 구간 위의 넓이로 잰다.

이 단원의 정점은 정규분포다. 자연에서 관찰되는 수많은 분포가 평균을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양 곡선을 그리고, 흩어진 정도는 표준편차 $\sigma$ 하나로 결정된다. 그리고 평균과 표준편차가 제각각인 정규분포라도 표준화를 거치면 단 하나의 표준정규분포 $\mathrm{N}(0,1)$ 로 모이므로, 표 하나로 온갖 문제를 처리할 수 있게 된다.

06에서 익힌 평균·분산의 감각은 여기서도 그대로 쓰인다. 다음 소단원 통계적 추정은 표본평균이라는 새로운 확률변수 자체가 정규분포를 따른다는 사실에서 출발하므로, 정규분포를 읽는 감각이 그대로 이어진다.

핵심 사실

• 연속확률변수와 확률밀도함수: 확률변수 $X$ 의 값이 어떤 구간 전체에 걸쳐 있을 때 $X$ 를 연속확률변수라 하고, 그 분포를 나타내는 함수 $f(x)$ 를 확률밀도함수라 한다. 확률은 $y=f(x)$ 의 그래프와 $x$ 축 사이의 넓이로 정의된다.

$$P(a \le X \le b) = \big(\text{구간 } [a,b] \text{에서 } y=f(x) \text{ 아래의 넓이}\big)$$

• 전체 넓이는 항상 $1$ 이고, 한 점에서의 확률 $P(X=a)$ 는 넓이가 $0$ 이므로 항상 $0$ 이다.
• 정규분포 $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$: 평균 $m$, 분산 $\sigma^2$ 인 연속확률분포로, 그래프는 $x=m$ 에 대해 좌우 대칭인 종 모양이다. $\sigma$ 가 클수록 곡선은 낮고 넓게 퍼지고, 작을수록 높고 뾰족해진다 — 모양이 달라져도 넓이는 항상 $1$ 로 같다.
• 표준화: 정규분포 $\mathrm{N}(m,\sigma^2)$ 을 따르는 $X$ 를 다음처럼 바꾸면 언제나 표준정규분포 $\mathrm{N}(0,1)$ 을 따른다.

$$Z = \frac{X-m}{\sigma}$$

• 평균을 $0$ 으로 옮기고, 단위를 표준편차로 나눠 흩어진 정도를 $1$ 로 맞추는 것이다.
• 표준정규분포표는 $P(0 \le Z \le z)$ 의 값을 $z$ 별로 정리한 표다. 이 값 하나와 대칭성만으로 다른 모든 구간의 확률을 만들어 낸다(아래 표).
• 이항분포의 정규근사: $n$ 이 충분히 크면 이항분포 $\mathrm{B}(n,p)$ 는 근사적으로 정규분포를 따르고, 그 정규분포는 다음과 같다.

$$\mathrm{N}\big(np,\ np(1-p)\big)$$

• 이때 확률은 $Z = \dfrac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ 로 표준화해서 구한다.

비교표

	이산확률변수	연속확률변수
값	셀 수 있음($0,1,2,\dots$)	구간 전체의 실수
확률	각 값마다 $p_i$	넓이(적분)
한 점의 확률	$p_i > 0$ 일 수 있음	항상 $0$
합/넓이	$\sum p_i = 1$	전체 넓이 $=1$
예	이항분포	정규분포

구하고 싶은 확률	표준정규분포표 값을 이용한 식
$P(0\le Z\le z)$	표에서 바로 읽는다
$P(Z\le z)\ (z>0)$	$0.5+P(0\le Z\le z)$
$P(Z\ge z)\ (z>0)$	$0.5-P(0\le Z\le z)$
$P(-z\le Z\le z)$	$2\,P(0\le Z\le z)$
$P(a\le Z\le b)\ (0<a<b)$	$P(0\le Z\le b)-P(0\le Z\le a)$

시험 포인트

• 연속확률변수에서는 $P(X\le a)$ 와 $P(X<a)$ 가 같다. 한 점의 확률이 $0$ 이라 등호를 포함하든 말든 답이 달라지지 않는다. 이산확률변수에서 $P(X\le a)$ 와 $P(X<a)$ 가 $p_a$ 만큼 차이 나던 것과 정반대다.
• 표준화의 분모는 표준편차 $\sigma$ 이지 분산 $\sigma^2$ 이 아니다. $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$ 표기에서 뒤의 값이 분산임을 늘 확인하고, 나누기 전에 제곱근을 씌운다.
• 정규분포는 평균에 대해 대칭이다. $P(X \ge m) = 0.5$ 를 이용하면 표를 절반만 뒤져도 되는 문제가 많다.
• 표 값을 조합할 때 부호를 헷갈리지 않는다. $P(Z\le z)$ 는 $0.5$ 를 더하고, $P(Z\ge z)$ 는 $0.5$ 에서 뺀다 — 반대로 하면 확률이 $1$ 을 넘거나 음수가 나와 바로 틀렸음을 알 수 있다.
• 확률을 구하기 전에 그림을 그린다. 종 모양 곡선에 구하려는 구간을 칠해 두면 표에서 무엇을 더하고 뺄지 헷갈리지 않는다.
• 정규근사의 분산은 $np(1-p)$ 이지 $np$ 가 아니다. 이항분포 자체의 분산 공식과 똑같이, $np$ 까지만 쓰고 표준편차를 그냥 $np$ 로 착각하는 실수가 잦다.

개요

전국 고등학생의 평균 키를 알고 싶다고 하자. 모두를 재는 것은 불가능하다. 그래서 일부만 뽑아 재고, 그 결과로 전체를 추측한다. 이것이 통계의 실제 쓰임이며, 앞 소단원까지 쌓은 확률은 이 추측이 얼마나 믿을 만한지를 재기 위한 도구였다.

핵심 발견은 이것이다 — 표본평균 $\overline{X}$ 자체가 확률변수다. 어떤 표본을 뽑느냐에 따라 값이 달라지기 때문이다. 그런데 그 흔들림에는 규칙이 있어서, 표본평균은 모평균을 중심으로 하는 정규분포를 따르고 그 흩어짐은 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 로 줄어든다. 표본을 키울수록 추측이 정확해지는 이유가 이 $\sqrt{n}$ 안에 들어 있다.

핵심 사실

• 모집단은 조사 대상 전체, 표본은 그중 실제로 뽑은 일부다. 표본을 뽑는 시행마다 값이 달라지므로 표본평균 $\overline{X}$ 는 확률변수다.
• 표본평균의 분포: 모평균 $m$, 모표준편차 $\sigma$ 인 모집단에서 크기 $n$ 인 표본을 뽑으면

$$E(\overline{X}) = m,\qquad V(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n},\qquad \sigma(\overline{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

• 평균은 그대로, 흩어짐만 줄어든다는 것이 요점이다. $n$ 을 $4$ 배로 늘리면 표준편차는 절반이 된다.
• 모집단이 정규분포면 $\overline{X}$ 도 정규분포를 따른다. 모집단이 정규분포가 아니어도 $n$ 이 충분히 크면 근사적으로 정규분포를 따른다(중심극한정리).
• 모평균의 신뢰구간: 모표준편차 $\sigma$ 를 알 때, 표본평균이 $\overline{x}$ 이면

$$\overline{x} - k\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \;\le\; m \;\le\; \overline{x} + k\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

• 신뢰도에 따라 $k$ 가 정해진다 — $95\%$ 이면 $k = 1.96$, $99\%$ 이면 $k = 2.58$ 이다. 표준화한 $Z$ 가 그 범위에 들어갈 확률에서 나온 값이다.
• 구간의 길이는 $2k\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 다. 신뢰도를 높이면 길어지고, 표본 크기를 키우면 짧아진다. 정확도와 확신은 맞바꾸는 관계다.
• 신뢰도 $95\%$ 의 뜻: 같은 방법으로 표본을 $100$ 번 뽑아 구간을 $100$ 개 만들면 그중 약 $95$ 개가 모평균을 포함한다는 뜻이다. 모평균이 그 구간에 있을 확률이 $95\%$ 라는 말이 아니다 — 모평균은 고정된 값이고, 흔들리는 쪽은 구간이다.

비교표

	모집단	표본
평균	모평균 $m$ (고정, 미지)	표본평균 $\overline{X}$ (확률변수)
표준편차	모표준편차 $\sigma$	$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
목적	알고 싶은 것	추측의 근거

바꾸는 것	신뢰구간의 길이
신뢰도 $95\% \to 99\%$	길어진다 ($k$ 증가)
표본 크기 $n \to 4n$	절반이 된다

시험 포인트

• 표본평균의 표준편차는 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 다. $\dfrac{\sigma}{n}$ 으로 쓰는 실수가 가장 흔하다. 분산이 $\dfrac{\sigma^2}{n}$ 임을 기억하면 제곱근을 씌워 바로 확인된다.
• $n$ 을 몇 배로 해야 하는지 묻는 문제는 $\sqrt{n}$ 로 생각한다. 구간 길이를 $\frac{1}{2}$ 로 줄이려면 $n$ 을 $4$ 배로 해야 한다.
• $k$ 값을 신뢰도와 짝지어 외운다. $95\% \to 1.96$, $99\% \to 2.58$. 문제에서 표로 주기도 하므로 주어진 값을 먼저 확인한다.
• 신뢰도의 뜻을 정확히 말한다. “모평균이 이 구간에 있을 확률이 $95\%$“는 틀린 서술이다. 서술형에서 자주 감점되는 지점이다.
• 구간의 중심은 언제나 표본평균 $\overline{x}$ 다. 구간의 양 끝이 주어지면 두 끝의 평균이 $\overline{x}$, 차의 절반이 $k\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 다.