기하
정사영의 넓이
도형의 각 점에서 평면에 수선을 내려 만든 그림자가 정사영이다. 그림자는 원래 도형보다 작아지는데, 얼마나 작아지는지가 두 평면이 이루는 각 하나로 정해진다. 공간 문제를 평면 위의 계산으로 끌어내리는 도구이며, 태양의 고도에 따라 그림자가 길어지고 짧아지는 것과 같은 이야기다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 정사영의 넓이를 원래 넓이와 각으로 구한다
- 정사영의 넓이가 주어졌을 때 거꾸로 각이나 원래 넓이를 구한다
- 왜 cos θ 배인지를 "한 방향만 줄어든다"로 설명한다
한 단계씩 유도해 보기
먼저 선분부터. 평면과 각 θ 로 놓인 길이 l 인 선분의 그림자는 직각삼각형의 밑변이므로 l cos θ 다. 여기까지는 삼각비 그대로다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
교선에 수직인 방향만 cos θ 배로 눌린다.
그림자는 한 방향으로만 눌린다. 교선과 나란한 방향은 길이가 그대로이고 수직인 방향만 cos θ 배가 되므로 넓이도 cos θ 배다. 두 끝을 넣어 검산한다. θ = 0 이면 cos 0 = 1 이라 넓이가 그대로이고, θ = 90° 면 0 이 되어 그림자가 선으로 눕는다.
가스파르 몽주