정사영

왜 그런가

햇빛이 머리 바로 위에서 내리쬘 때 바닥에 생기는 그림자가 정사영이다. 빛이 바닥에 수직으로 내리꽂히므로, 도형의 각 점은 그 점에서 바닥에 내린 수선의 발로 옮겨 간다. 점의 정사영은 점이고, 선분의 정사영은 대개 선분이며, 도형의 정사영은 도형이다.

그림자는 기운 만큼 줄어든다. 길이가 $l$ 인 선분이 평면과 $\theta$ 를 이루면 정사영의 길이는 $l\cos \theta$ 이고, 넓이가 $S$ 인 도형이 평면과 $\theta$ 를 이루면 정사영의 넓이는 이렇다.

넓이에 $\cos \theta$ 가 두 번이 아니라 한 번만 붙는 까닭은 도형이 한 방향으로만 눌리기 때문이다. 두 평면이 만나는 교선과 나란한 방향의 길이는 그대로이고, 교선에 수직인 방향의 길이만 $\cos \theta$ 배가 된다. 가로는 그대로이고 세로만 줄어든 직사각형을 떠올리면 된다.

벡터의 내적도 정사영으로 읽힌다. $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 는 $|\vec{a}|$ 에, $\vec{b}$ 를 $\vec{a}$ 방향으로 정사영한 길이 $|\vec{b}|\cos \theta$ 를 곱한 값이다.