고3 도형과 측정

삼수선 정리

삼수선의 정리

점 $P$ 에서 평면에 내린 수선의 발이 $H$ 일 때, 두 점에서 평면 위 직선에 내린 수선의 발이 같다는 정리.

초등중등고등

고3 에서 배웁니다.

평면 $α$ 밖의 점 $P$ 에서 평면에 내린 수선의 발을 $H$ , $H$ 에서 평면 위의 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 $A$ 라 하면 $PA$ 도 $l$ 에 수직이다. $PH = 8$ , $HA = 15$ 이면 $PA = 17$ 이다.

왜 그런가

공간의 직각은 그림에서 직각으로 보이지 않는다. 비스듬히 그린 입체 그림에서는 수직인 두 선도 예각이나 둔각으로 그려진다. 그래서 눈 대신 논리로 「여기가 직각이다」를 보장해 줄 도구가 필요하고, 그 도구가 이 정리다.

$PH$ 가 평면에 수직이면 $PH$ 는 평면 위의 어떤 직선과도 수직이다. 그러니 $l$ 은 $PH$ 와 수직이다. $l$ 은 $HA$ 와도 수직이므로, 만나는 두 직선 $PH$ 와 $HA$ 가 만드는 평면 전체와 수직이다. 그 평면 위에 $PA$ 가 있으니 $l$ 은 $PA$ 와도 수직이다.

쓰임은 주로 직각삼각형 찾기다. 점 $P$ 에서 직선 $l$ 까지의 거리 $PA$ 는 직각삼각형 $PHA$ 의 빗변이라 피타고라스 정리로 구한다. 두 평면이 이루는 각을 잴 때도 이 정리로 두 평면이 만나는 선에 수직인 선분을 찾아 각을 세운다.

흔한 오해

직선이 평면 위의 직선 하나와 수직이라고 그 평면과 수직인 것은 아니다. 책상 모서리와 수직이 되게 비스듬히 기울여 놓은 연필은 책상 면과 수직이 아니다. 평면 위에서 서로 만나는 두 직선과 모두 수직이어야 평면과 수직이다.

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삼수선 정리와 이어진 말

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왜 그런가

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