좌표평면과 그래프

개요

좌표평면은 가로축($x$)과 세로축($y$)이 직각으로 만나 이루는 판이다. 평면 위 한 점을 순서쌍 $(x, y)$ 로 정확히 가리킬 수 있어, 수와 식의 관계를 그림으로 볼 수 있게 해 준다. 방정식이 직선·곡선이 되어 눈앞에 나타나는 순간이다.

핵심 사실

• 순서쌍 $(x, y)$ 에서 앞은 가로 위치, 뒤는 세로 위치다. 순서를 바꾸면 다른 점이다.
• 사분면: 두 축이 평면을 네 부분으로 나눈다. 오른쪽 위가 제1사분면이고, 거기서 시계 반대 방향으로 제2·제3·제4사분면이다. 좌표의 부호로 기억하면 빠르다. 제1은 $(+,\ +)$, 제2는 $(-,\ +)$, 제3은 $(-,\ -)$, 제4는 $(+,\ -)$ 다.
• 축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않는다. $(0,\ 3)$ 이나 $(-4,\ 0)$ 처럼 좌표에 $0$ 이 있으면 축 위에 있다는 뜻이다.
• 정비례: $x$ 가 $2$ 배, $3$ 배 되면 $y$ 도 $2$ 배, $3$ 배 되는 관계다. 식은 $y = ax$ 꼴이고 그래프는 원점을 지나는 직선이다. 이때 $\dfrac{y}{x} = a$ 가 일정하다. (정비례 관계에 단계별 유도를 적어 두었다.)
• 반비례: $x$ 가 $2$ 배 되면 $y$ 는 $\dfrac{1}{2}$ 배가 되는 관계다. 식은 $y = \dfrac{a}{x}$ 꼴이고, 이때 $xy = a$ 가 일정하다는 것이 계산의 열쇠다. 그래프는 원점에 대해 대칭인 두 갈래 곡선이다. (반비례 관계에 단계별 유도를 적어 두었다.)
• 일차함수 $y = ax + b$ 의 그래프는 직선이다.
  • $a$ 는 기울기: $x$ 가 1 늘 때 $y$ 의 변화량.
  • $b$ 는 $y$ 절편: 그래프가 $y$ 축과 만나는 점의 $y$ 값 ($x = 0$ 일 때).

$$y = 2x - 1 \;\Rightarrow\; \text{기울기 } 2,\ y\text{절편 } -1$$

• 기울기가 양수면 오른쪽 위로, 음수면 오른쪽 아래로 향한다.

아래 슬라이더로 직접 확인해 보세요. a 를 움직이면 직선이 원점을 축으로 돌고, 그동안 $y \div x$ 의 값은 언제나 $a$ 그대로입니다. b 를 0 에서 떼면 직선이 원점을 떠나고, 그 순간 정비례가 아니게 됩니다.

정비례 y = 2xa 가 음수면y = 2x − 1: 원점을 떠난다

y = 2.0x

y ÷ x = 2.0 로 어느 점에서나 같다 원점을 지나는 직선이다. 이런 관계가 정비례이고 a 는 기울어진 정도만 정한다

a (기울기) b (y절편)

직선입니다. 기울기 2.0, y절편 0.0. 원점을 지나므로 y 를 x 로 나눈 값이 어느 점에서나 같습니다.