04 / 11

일차함수와 그래프

두 양의 관계를 y = ax + b 로 나타내고, 기울기·절편·평행 조건과 연립방정식의 그래프적 의미까지 읽는다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

그래프 그리기는 대부분 한다. 배점은 두 직선의 관계를 판정하는 문항과 교점을 연립으로 구하는 자리다. 여기서 앞 소단원과 이어지는 것을 못 보면 두 소단원을 따로 외우게 된다. "교점 = 연립의 해"를 수업에서 소리 내어 잇는다.

여기서 무너집니다

기울기를

\frac{x 의 변화량}{y 의 변화량}

으로 뒤집어 쓴다. 말로 고쳐도 다시 뒤집힌다. 계단으로 읽힌다. 오른쪽으로 한 칸 갈 때 위로 몇 칸 올라가는지 그래프에서 손으로 세게 하면, 분모가 가로라는 것이 그림으로 남는다.

확인 질문

$y = 3 x - 2$ 에서 $x$ 가 $1$ 만큼 커지면 $y$ 는 얼마나 변합니까? 기울기 $3$ 은 무엇을 뜻합니까?

" $3$ 만큼 커진다"와 "가로 한 칸에 세로 세 칸"이 함께 나오면 통과. 기울기를 " $x$ 앞의 수"로만 말하면 변화율 개념이 없는 것이니, 미분(고2)까지 그대로 이어진다.

개요

Unit 2에서 좌표평면 위에 점을 찍고 직선의 기울기·절편을 읽는 연습을 했다. 이번에는 한 걸음 더 나아간다. $x$ 값 하나에 $y$ 값이 딱 하나씩 정해지는 대응, 곧 함수의 눈으로 직선을 본다. 두 양의 관계를 $y = ax + b$ 라는 식으로 세우고, 그 식이 그리는 직선을 자유롭게 읽고 비교해 보자.

핵심 사실

함수는 $x$ 값 하나에 $y$ 값이 오직 하나씩 대응하는 관계다. 그중 $y = ax + b$ ( $a \neq 0$ ) 꼴을 일차함수라 하고, 그래프는 직선이다.
기울기 $a$ 는 두 점만 알면 구할 수 있다. $x$ 가 변한 만큼에 대해 $y$ 가 변한 비율이다.

a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

예를 들어 두 점 $(0, 1)$ , $(2, 7)$ 을 지나면 기울기는 $\dfrac{7 - 1}{2 - 0} = 3$ 이다.

절편: $y$ 절편은 $b$ (그래프가 $y$ 축과 만나는 높이), $x$ 절편은 $y = 0$ 을 넣어 얻는 $-\dfrac{b}{a}$ 다.
평행 조건: 두 일차함수의 기울기가 같고 $y$ 절편이 다르면 두 직선은 평행하다. 기울기도 $y$ 절편도 모두 같으면 평행이 아니라 완전히 겹치는(일치하는) 직선이다.
연립방정식과의 연결: 두 일차방정식을 각각 직선으로 그리면, 그 교점의 좌표가 곧 연립방정식의 해다.

아래 슬라이더로 직접 확인해 보세요. 이 위젯은 $y = ax + b$ 를 그립니다. a 가 기울기, b 가 $y$ 절편입니다. 프리셋으로 기울기만 바꿔 보고, 다음엔 $y$ 절편만 바꿔 직선이 나란히 평행 이동하는 모습을 눈으로 확인해 보세요.

a (기울기) b (y절편)

직선입니다. 기울기 2.0, y절편 1.0.

완료로 두면 중2 식과 함수 목차에 표시됩니다.