사각형의 성질

개요

여러 사각형은 따로 떨어진 것이 아니라 평행사변형에서 조건이 하나씩 더해지며 갈라져 나온 가족이다. 평행사변형의 성질을 뿌리로 삼으면 직사각형·마름모·정사각형의 성질이 자연스럽게 이어진다. 각 사각형을 구별하는 열쇠는 대부분 대각선에 있다.

핵심 사실

• 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
• 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
• 두 대각선이 서로를 이등분한다.
• 이 셋은 나란한 형제가 아니다: 대각선 $\mathrm{AC}$ 를 하나 그으면 엇각 두 쌍과 공통변으로 $\triangle \mathrm{ABC} \equiv \triangle \mathrm{CDA}$ (ASA)가 되어 대변과 대각이 나온다. 그리고 거기서 얻은 $\mathrm{AB} = \mathrm{DC}$ 를 써야 교점 $\mathrm{O}$ 둘레의 두 번째 합동 $\triangle \mathrm{OAB} \equiv \triangle \mathrm{OCD}$ 가 서고, 그제야 대각선의 이등분이 나온다. 순서가 있는 사슬이다. (평행사변형의 성질에 단계별 유도를 적어 두었다.)
• 직사각형: 네 각이 모두 직각. 평행사변형의 성질에 더해 두 대각선의 길이가 같다. 물려받은 이등분과 합치면 교점에서 네 꼭짓점까지가 모두 같은 거리가 되는데, 직각삼각형의 외심이 빗변의 중점인 까닭이 바로 여기에 있다. (직사각형의 대각선에 단계별 유도를 적어 두었다.)
• 마름모: 네 변의 길이가 모두 같음. 평행사변형의 성질에 더해 두 대각선이 서로 수직으로 이등분한다. 대각선 $\mathrm{BD}$ 를 따라 자르면 $\mathrm{AB} = \mathrm{AD}$ 인 이등변삼각형 $\mathrm{ABD}$ 가 되고 $\mathrm{AO}$ 는 그 꼭지각의 이등분선이므로, 수직인 까닭은 이등변삼각형의 성질과 같은 이유다. (마름모의 대각선에 단계별 유도를 적어 두었다.)
• 정사각형: 직사각형이면서 마름모. 대각선이 길이도 같고 서로 수직이등분한다.
• 사다리꼴: 한 쌍의 대변만 평행한 사각형.
• 평행사변형이 되는 조건(판정): 위의 성질이 “평행사변형이면 이렇다”라면, 판정은 그 역, 곧 “이러면 평행사변형이다”다. 어떤 사각형이 다음 다섯 가지 중 하나만 만족하면 평행사변형이다.
  • 두 쌍의 대변이 각각 평행하다 (정의 그대로)
  • 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다
  • 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다
  • 두 대각선이 서로를 이등분한다
  • 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 같은 한 쌍의 길이가 같다