06 / 8

원의 성질

현과 접선의 성질, 그리고 원주각이 중심각의 절반이라는 규칙과 원에 내접하는 사각형의 성질을 익힌다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

성질을 나열하는 문항은 짧다. 배점은 지름을 보고 직각을 끌어내는 자리다. 원 안에 지름이 있으면 직각삼각형이 생기고, 그 순간 피타고라스와 삼각비가 함께 열린다. 성질 암기보다 그림에서 지름과 같은 호를 찾아내는 훈련에 시간을 쓴다.

여기서 무너집니다

원주각과 중심각의 배수를 뒤집어 쓴다. 어느 쪽이 큰지 그림에서 눈으로 확인시킨다. 중심에서 벌린 각이 원 위에서 벌린 각보다 넓게 벌어져 있다. 큰 쪽이 중심각이라는 그림 한 장이면 두 배와 절반이 헷갈리지 않는다.

확인 질문

같은 호에 대한 중심각이 $8 0^{\circ}$ 이면 원주각은 몇 도입니까? 어느 쪽이 더 큽니까?

$4 0^{\circ}$ 와 "중심각이 더 크다"가 함께 나오면 통과. $16 0^{\circ}$ 라 하면 방향을 뒤집은 것이니, 두 각을 한 그림에 겹쳐 그려 확인시킨다.

개요

원은 “한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임”이라는 단순한 정의에서 놀랍도록 많은 성질이 쏟아진다. 현(원 위 두 점을 잇는 선분), 접선(원에 살짝 닿는 직선), 그리고 원 위의 점에서 바라본 각(원주각) 사이에는 깔끔한 규칙이 있다. 이 성질들은 각과 길이를 구하는 문제의 핵심 도구가 된다.

핵심 사실

정의

현의 성질: 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다. 또 길이가 같은 두 현은 중심에서 같은 거리에 있다.

이등분되면 길이가 계산된다. 수선을 내리는 순간 반지름을 빗변으로 하는 직각삼각형이 생기므로, 반지름 $r$ 와 중심에서 현까지의 거리 $d$ 만 알면 현의 길이 $\ell$ 이 나온다.

\ell = 2\sqrt{r^2 - d^2}

$d = 0$ 이면 현이 중심을 지나 지름 $2r$ 이고, $d$ 가 $r$ 에 다가가면 길이가 $0$ 으로 줄어 접하는 순간이 된다. (현의 길이에 단계별 유도를 적어 두었다.)
접선의 성질: 접선은 접점을 지나는 반지름과 수직이다. 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 서로 같다.
원주각과 중심각: 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 절반이다.

\angle(\text{원주각})=\frac{1}{2}\angle(\text{중심각})

따라서 같은 호에 대한 원주각은 모두 같고, 반원(지름)에 대한 원주각은 항상 $90^\circ$ 다.
원에 내접하는 사각형: 네 꼭짓점이 한 원 위에 있는 사각형은 마주 보는 두 각의 합이 $180^\circ$ 다.

원주각이 중심각의 절반이라는 사실은 그림 한 장으로 증명됩니다. 지름을 하나 그어 이등변삼각형 두 개를 만들고 외각의 성질을 쓰면 끝입니다. 아래에서 그 순서를 따라가 보세요.

\overline{O P} = \overline{O A} = \overline{O B} = r

중심 O 가 ∠APB 의 안쪽에 있는 경우를 먼저 본다. P 에서 중심 O 를 지나는 지름을 그어 반대쪽 끝을 Q 라 하자. 세 반지름의 길이는 같다.

1 / 4 단계

완료로 두면 중3 방정식과 함수 목차에 표시됩니다.