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삼각비의 활용

직각삼각형에서 정의한 삼각비로 직접 잴 수 없는 높이·거리를 구하고, 두 변과 낀각으로 삼각형의 넓이를 구한다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

삼각비 값을 외우는 것보다 기준각을 정하고 세 변에 이름을 붙이는 자리가 배점이다. 측량 문제는 직각삼각형 두 개로 쪼개 연립하는 형태가 대부분이라, 쪼개기까지 가면 계산은 남은 일이다. 그림에 기준각을 표시하고 시작하는 절차에 시간을 쓴다.

여기서 무너집니다

삼각형이 기울어지면 밑변과 높이를 화면 기준으로 잡는다. "아래에 있는 변이 밑변"이라고 여기기 때문이다. 종이를 돌려 기준각이 왼쪽 아래로 오게 놓게 한다. 방향을 맞추면 이름이 저절로 붙고, 몇 번 하면 돌리지 않고도 붙는다.

확인 질문

$S = \frac{1}{2} ab sin C$ 에서 각 $C$ 는 어느 각이어야 합니까? 다른 각을 쓰면 어떻게 됩니까?

" $a$ 와 $b$ 의 낀각"이 나오면 통과. 아무 각이나 된다고 하면 넓이 문항이 통째로 틀리니, 낀각이 아닌 각으로 계산해 값이 달라지는 것을 직접 확인시킨다.

개요

직각삼각형에서 변의 비로 정의한 삼각비(sin·cos·tan)를 쓰면, 사다리를 놓지 않고도 건물의 높이를, 강을 건너지 않고도 폭을 잴 수 있다. 각 하나와 변 하나만 알면 나머지를 계산할 수 있기 때문이다. 삼각비의 정의는 이미 배운 대로이며, 여기서는 그것을 실제 측량과 넓이 계산에 활용한다. 정의가 흐릿하면 삼각비 편에서 먼저 확인하고 오자. 고등 과정에서는 이 삼각비가 삼각함수로 확장된다.

핵심 사실

정의

삼각비 (직각삼각형, 기준각 $A$ ): 빗변·높이(대변)·밑변의 비로 정의한다.

\sin A=\frac{\text{높이}}{\text{빗변}},\quad \cos A=\frac{\text{밑변}}{\text{빗변}},\quad \tan A=\frac{\text{높이}}{\text{밑변}}

특수각의 값: $\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}$ , $\sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 처럼 $30^\circ\!\cdot 45^\circ\!\cdot 60^\circ$ 값은 외워 둔다.
높이·거리 구하기: 밑변 길이 $d$ 와 올려본각 $A$ 를 알면 높이는 $h = d\tan A$ . 이렇게 직접 재기 어려운 길이를 삼각비로 계산한다.
삼각형의 넓이: 두 변의 길이 $a, b$ 와 그 낀각 $C$ 를 알면

S=\frac{1}{2}\,ab\sin C

높이를 재지 않고 삼각형의 넓이를 구한다. 이 소단원의 핵심이 아래 네 단계에 다 있습니다. 높이를 두 변과 낀각으로 바꿔 쓰는 세 번째 단계가 전부입니다.

S = \frac{1}{2} ah

변 a 를 밑변으로 두고 그에 대한 높이를 h 라 하자.

1 / 4 단계

완료로 두면 중3 방정식과 함수 목차에 표시됩니다.