중3 방정식과 함수

개요

$x^2 = 2$ 를 만족하는 수는 얼마일까? 어떤 분수를 제곱해도 정확히 $2$ 가 되지 않는다. 이 곤란함을 해결하려고 도입하는 것이 제곱근이고, $\sqrt{2}$ 처럼 분수로 나타낼 수 없는 수를 무리수라 부른다. 유리수에 무리수를 더하면 수직선을 빈틈없이 메우는 실수가 된다. 제곱근은 곧이어 배울 근의 공식과 피타고라스 정리에서 곧바로 등장한다.

핵심 사실

• 제곱근: 제곱하여 $a$ 가 되는 수. 양수 $a$ 의 제곱근은 양·음 두 개이고 $\pm\sqrt{a}$ 로 쓴다. $9$ 의 제곱근은 $\pm 3$ 이다.
• 근호 $\sqrt{\ }$: $\sqrt{a}$ 는 $a$ 의 제곱근 중 음이 아닌 쪽만 가리킨다. 그래서 $\sqrt{9}=3$ 이다(“9의 제곱근”과 "$\sqrt{9}$"를 혼동하지 않기).
• 무리수: 분수 $\dfrac{b}{a}$ 꼴로 나타낼 수 없는 수. 소수로 쓰면 순환하지 않는 무한소수다. $\sqrt{2}=1.414\ldots$, $\pi=3.141\ldots$
• 실수: 유리수와 무리수를 합친 수. 수직선 위의 모든 점이 실수 하나에 대응한다.
• 대소 비교: $a>0,\ b>0$ 일 때 $a<b$ 이면 $\sqrt{a}<\sqrt{b}$. 근호 밖 수는 제곱해 안으로 넣어 비교한다($2=\sqrt{4}$ 이므로 $2>\sqrt{3}$).

비교표

수	분수로?	소수 표현	분류
$\dfrac{3}{5}$	가능	$0.6$ (유한)	유리수
$\sqrt{4}$	가능	$2$	유리수
$\sqrt{2}$	불가능	$1.414\ldots$ (순환 안 함)	무리수

시험 포인트

• ”$a$ 의 제곱근”은 $\pm\sqrt{a}$ 두 개, "$\sqrt{a}$"는 하나 — 가장 잦은 함정이다.
• $\sqrt{a^2}=|a|$ 다. $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$ 이지 $-3$ 이 아니다.
• $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$ 처럼 근호 안이 제곱수면 무리수가 아니다. 근호가 씌워졌다고 다 무리수는 아니다.

개요

제곱근을 도입했으니 이제 $\sqrt{2}$ 나 $\sqrt{3}$ 이 섞인 식을 계산할 차례다. 근호가 붙은 수도 하나의 수이므로 사칙연산이 가능하지만, 곱셈·나눗셈은 자유롭고 덧셈·뺄셈은 같은 근호끼리만 된다는 점이 문자식의 동류항과 똑 닮았다. 분모에 근호가 남지 않게 정리하는 유리화까지 익히면 근호 계산의 기본기가 완성된다.

핵심 사실

• 곱셈·나눗셈: 근호 안끼리 곱하고 나눈다.

$$\sqrt{a}\,\sqrt{b}=\sqrt{ab}, \qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} \quad (a,b>0)$$

• 근호 밖으로 빼기: 근호 안의 제곱인 인수는 밖으로 나온다. $\sqrt{12}=\sqrt{2^2 \times 3}=2\sqrt{3}$
• 분모의 유리화: 분모에 근호가 있으면 같은 근호를 분모·분자에 곱해 없앤다.

$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

• 덧셈·뺄셈: 근호 안이 같은 것끼리만 계수를 더하고 뺀다(동류항처럼). $2\sqrt{3}+4\sqrt{3}=6\sqrt{3}$ 은 되지만 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 은 더 간단해지지 않는다.

비교표

계산	규칙	예
곱셈	안끼리 곱함	$\sqrt{3}\times\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$
덧셈	같은 근호끼리 계수 합	$2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}$
유리화	분모 근호를 위아래 곱해 제거	$\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$

시험 포인트

• $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 을 $\sqrt{5}$ 로 합치는 것은 틀린 계산이다. 덧셈은 근호 안이 같을 때만 된다.
• 덧셈·뺄셈 전에 $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ 처럼 근호를 먼저 간단히 하면 숨어 있던 같은 근호가 보인다. $\sqrt{8}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
• 답에 분모의 근호가 남아 있으면 유리화까지 해야 완성이다.

개요

Unit 3의 식의 계산에서 $2x(3x - 1) = 6x^2 - 2x$ 처럼 괄호를 풀어 전개하는 연습을 했다. 이번에는 그 화살표를 거꾸로 돌린다. 전개된 식 $6x^2 - 2x$ 를 다시 $2x(3x - 1)$ 처럼 곱의 꼴로 되돌리는 것이 인수분해다. 인수분해를 손에 익히면, 최고차항이 $x^2$ 인 이차방정식을 곱셈 하나의 문제로 바꿔 풀 수 있다. 기초부터 차근차근 되돌리는 눈을 길러 보자.

핵심 사실

• 곱셈공식과 인수분해는 서로 역방향이다. 전개하면 왼쪽에서 오른쪽으로, 인수분해하면 오른쪽에서 왼쪽으로 읽는다.

$$x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$$

즉 상수항이 $ab$, 일차항 계수가 두 수의 합 $a + b$ 가 되도록 두 수를 찾으면 된다.

• 곱이 0이면 둘 중 하나는 0이다. $AB = 0$ 이면 $A = 0$ 또는 $B = 0$ 이다. 이 한 줄이 이차방정식 풀이의 핵심 원리다.
• 인수분해로 풀기: 합이 $5$, 곱이 $6$ 인 두 수는 $2$ 와 $3$ 이다.

$$x^2 - 5x + 6 = 0 \;\Rightarrow\; (x - 2)(x - 3) = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \ \text{또는}\ x = 3$$

• 인수분해가 깔끔하지 않을 때는 근의 공식으로 마무리한다. $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) 의 해는

$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

근호 안의 $b^2 - 4ac$ 를 판별식이라 하고, 그 부호가 근의 개수를 정한다.

• $b^2 - 4ac > 0$ 이면 서로 다른 두 근 (2개)
• $b^2 - 4ac = 0$ 이면 한 근 (중근, 1개)
• $b^2 - 4ac < 0$ 이면 실수 범위의 근이 없다

비교표

풀이법	언제 쓰나	장점
인수분해	합·곱이 딱 떨어지는 정수로 보일 때	빠르고 계산 실수가 적다
근의 공식	인수분해가 잘 안 되거나 계수가 지저분할 때	어떤 이차방정식이든 반드시 풀린다

시험 포인트

• 풀이는 항상 우변을 $0$ 으로 만들고 시작한다. $x^2 - 5x = -6$ 은 먼저 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 으로 옮긴 뒤 인수분해한다.
• $x^2 = 4$ 의 해는 $x = 2$ 뿐이 아니라 $x = \pm 2$ 다. 제곱해서 $4$ 가 되는 수는 양수·음수 둘 다이므로 음수 근을 빠뜨리지 않는다.
• 근의 공식에서 맨 앞 부호는 $+b$ 가 아니라 $-b$ 다. $b$ 가 음수일 때 $-b$ 가 양수가 되는 것까지 부호를 정확히 챙긴다.
• 근의 개수를 묻는 문제는 굳이 다 풀지 말고 판별식 $b^2 - 4ac$ 의 부호만 확인하면 된다.

개요

Unit 3의 일차함수에서 $y = ax + b$ 가 그리는 직선을 읽었다. 이번에는 $x$ 에 제곱이 붙는다. $y = ax^2 + bx + c$ 는 더 이상 곧은 직선이 아니라, 한 번 휘어 내려갔다 올라오는(또는 올라갔다 내려오는) 포물선을 그린다. 직선에서 곡선으로 한 걸음 나아가, 이 곡선의 모양과 위치를 읽는 눈을 길러 보자.

핵심 사실

• 이차함수는 $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) 꼴이고, 그래프는 포물선이다.
  • $a > 0$ 이면 아래로 볼록(위로 열린 컵 모양), $a < 0$ 이면 위로 볼록(아래로 열린 모양)이다.
  • $|a|$ 가 클수록 포물선의 폭이 좁아지고, 작을수록 넓어진다.
• 꼭짓점 꼴 $y = a(x - p)^2 + q$ 로 고치면 그래프의 핵심 정보가 한눈에 보인다.
  • 꼭짓점은 $(p, q)$, 대칭축은 세로선 $x = p$ 다.
• 그래프와 $x$ 축의 교점의 $x$ 좌표는 곧 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$ 의 해다. $x$ 축 위에서는 $y = 0$ 이므로, 교점을 구하는 일과 이차방정식을 푸는 일은 완전히 같은 문제다. Unit 3에서 “두 직선의 교점 = 연립방정식의 해”였던 것의 이차 버전이라고 보면 된다.

아래 슬라이더로 직접 확인해 보세요. 기본값 $y = x^2 - 4x + 3$ 은 $x = 1$ 과 $x = 3$ 에서 $x$ 축과 만납니다. 프리셋으로 $a$ 를 음수로 바꾸거나($a = -1$) 폭을 좁혀도($a = 2$), 세 그래프 모두 여전히 $x = 1, 3$ 에서 $x$ 축과 만나는 것을 눈으로 확인해 보세요.

위로 볼록 (a<0)폭 좁히기 (a=2)기본으로

a = 1.0b = -4.0c = 3.0

a (구부러짐) b (기울기) c (y절편)

$a$ 를 바꿔도 근이 그대로인 이유는, 세 식이 모두 $y = a(x - 1)(x - 3)$ 꼴이기 때문입니다. $y = 0$ 이 되는 곳은 $a$ 값과 상관없이 $(x - 1)(x - 3) = 0$, 곧 $x = 1$ 과 $x = 3$ 으로 고정됩니다. $a$ 는 포물선의 벌어진 정도와 볼록 방향만 바꿀 뿐, $x$ 축과 만나는 위치는 바꾸지 못합니다.

비교표

대상	식	그래프	교점의 의미
일차함수	$y = ax + b$	직선	두 직선의 교점 = 연립방정식의 해
이차함수	$y = ax^2 + bx + c$	포물선	$x$ 축과의 교점 = 이차방정식의 해

시험 포인트

• $y = (x - 2)^2 + 3$ 의 꼭짓점은 $(2, 3)$ 이다. 괄호 안 부호를 뒤집어 읽으므로 $(-2, 3)$ 이 아니다.
• $a = 0$ 이면 $x^2$ 항이 사라져 $y = bx + c$ 라는 직선이 된다. 즉 $a \neq 0$ 이라야 이차함수다.
• $x$ 축과 만나는 점을 구하라는 문제는 결국 $ax^2 + bx + c = 0$ 을 푸는 것과 같다. 인수분해나 근의 공식으로 넘어가면 된다.

개요

지금까지 방정식과 함수, 곧 문자와 수를 다루는 대수의 세계를 걸어왔다. 이번에는 삼각형과 넓이를 다루는 기하로 무대를 옮긴다. 하지만 주인공은 여전히 그대로다. 이차방정식에서도, 포물선에서도 앞장섰던 제곱이, 직각삼각형의 세 변을 잇는 이 정리에서도 다시 중심에 선다. 대수에서 익힌 제곱의 감각을 도형 위에서 다시 만나 보자.

핵심 사실

• 피타고라스 정리: 직각삼각형에서 직각의 맞은편 변(빗변)을 $c$, 직각을 낀 두 변을 $a, b$ 라 하면

$$c^2 = a^2 + b^2$$

• 증명 아이디어: 한 변이 $(a + b)$ 인 큰 정사각형을 그리고, 그 안에 변이 $a, b, c$ 인 직각삼각형 $4$ 개를 모서리에 채운다. 그러면 가운데에 변이 $c$ 인 정사각형이 남는다. 넓이를 두 가지로 세어 비교하면

$$c^2 = (a + b)^2 - 4 \cdot \tfrac{1}{2}ab = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = a^2 + b^2$$

• 대표 피타고라스 수: 변의 길이가 정수로 딱 떨어지는 대표적인 삼각형이 있다. $3, 4, 5$ / $5, 12, 13$ / $6, 8, 10$ 이며, 이들의 배수도 그대로 성립한다($6, 8, 10$ 은 $3, 4, 5$ 의 $2$ 배다).
• 역도 성립한다: 세 변이 $c^2 = a^2 + b^2$ 를 만족하면, 그 삼각형은 반드시 직각삼각형이다. 즉 이 식으로 직각인지 아닌지를 판별할 수 있다.

아래 퍼즐로 위 증명을 손으로 재현해 보세요. 네 개의 직각삼각형 조각을 큰 정사각형의 모서리로 옮기면, 가운데에 남는 정사각형의 넓이가 바로 $c^2$ 입니다. 조각의 자리를 바꿔도 삼각형 네 개가 차지하는 넓이는 그대로이므로, 남는 가운데 넓이가 곧 $a^2 + b^2$ 와 같아지는 것을 눈으로 확인할 수 있습니다. 프리셋의 ‘두 변이 같은 삼각형’처럼 빗변이 $\sqrt{2}$ 로 정수가 아니어도 정리는 똑같이 성립합니다 — 피타고라스 수는 그중 변이 정수로 딱 떨어지는 특별한 경우일 뿐입니다.

5·12·13두 변이 같은 삼각형

a = 3 · b = 4 · c = 5

조각 0 / 4 다시 놓기

네 조각을 모서리로 옮겨 채워 보세요.

비교표

무엇을 구하나	식	요령
빗변 구하기	$c = \sqrt{a^2 + b^2}$	두 변의 제곱을 더한 뒤 근호를 씌운다
다른 한 변 구하기	$b = \sqrt{c^2 - a^2}$	빗변 제곱에서 아는 변 제곱을 뺀 뒤 근호를 씌운다
직각인지 판별	$c^2 \stackrel{?}{=} a^2 + b^2$	가장 긴 변을 $c$ 자리에 두고 등식 확인

시험 포인트

• 계산 전에 빗변이 어느 변인지 먼저 정한다. 빗변은 직각의 맞은편이자 세 변 중 가장 긴 변이다.
• 빗변 아닌 변을 구할 때는 빼기다. 빗변 $13$, 한 변 $5$ 라면 나머지는 $\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ 다.
• 이때 두 값을 무심코 더해 $\sqrt{13^2 + 5^2} = \sqrt{194}$ 로 답하는 실수가 잦다. 아는 두 값 중 하나가 빗변이면 반드시 빼야 한다.
• 정리는 직각삼각형에서만 성립한다. 직각이 아닌 삼각형에는 그대로 쓸 수 없다.

개요

직각삼각형에서 변의 비로 정의한 삼각비(sin·cos·tan)를 쓰면, 사다리를 놓지 않고도 건물의 높이를, 강을 건너지 않고도 폭을 잴 수 있다. 각 하나와 변 하나만 알면 나머지를 계산할 수 있기 때문이다. 삼각비의 정의 자체는 삼각비(수1) 단원에서 더 자세히 다루며, 여기서는 그것을 실제 측량과 넓이 계산에 활용한다.

핵심 사실

• 삼각비 (직각삼각형, 기준각 $A$): 빗변·높이(대변)·밑변의 비로 정의한다.

$$\sin A=\frac{\text{높이}}{\text{빗변}},\quad \cos A=\frac{\text{밑변}}{\text{빗변}},\quad \tan A=\frac{\text{높이}}{\text{밑변}}$$

• 특수각의 값: $\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}$, $\sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 처럼 $30^\circ\!\cdot 45^\circ\!\cdot 60^\circ$ 값은 외워 둔다.
• 높이·거리 구하기: 밑변 길이 $d$ 와 올려본각 $A$ 를 알면 높이는 $h = d\tan A$. 이렇게 직접 재기 어려운 길이를 삼각비로 계산한다.
• 삼각형의 넓이: 두 변의 길이 $a, b$ 와 그 낀각 $C$ 를 알면

$$S=\frac{1}{2}\,ab\sin C$$

비교표

알고 있는 것	구하는 것	방법
밑변 $d$, 각 $A$	높이 $h$	$h=d\tan A$
빗변 $c$, 각 $A$	높이	$h=c\sin A$
두 변 $a,b$·낀각 $C$	넓이	$\frac{1}{2}ab\sin C$

시험 포인트

• 어느 변이 빗변·밑변·높이인지는 기준각의 위치에 따라 달라진다 — 그림에서 기준각을 먼저 표시하고 비를 세운다.
• 넓이 공식 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 의 각 $C$ 는 반드시 두 변 $a, b$ 의 낀각이어야 한다.
• 측량 문제는 직각삼각형 두 개로 나눠 각각 삼각비를 세운 뒤 연립하는 형태가 많다.

개요

원은 “한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임”이라는 단순한 정의에서 놀랍도록 많은 성질이 쏟아진다. 현(원 위 두 점을 잇는 선분), 접선(원에 살짝 닿는 직선), 그리고 원 위의 점에서 바라본 각(원주각) 사이에는 깔끔한 규칙이 있다. 이 성질들은 각과 길이를 구하는 문제의 핵심 도구가 된다.

핵심 사실

• 현의 성질: 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다. 또 길이가 같은 두 현은 중심에서 같은 거리에 있다.
• 접선의 성질: 접선은 접점을 지나는 반지름과 수직이다. 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 서로 같다.
• 원주각과 중심각: 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 절반이다.

$$\angle(\text{원주각})=\frac{1}{2}\angle(\text{중심각})$$

• 따라서 같은 호에 대한 원주각은 모두 같고, 반원(지름)에 대한 원주각은 항상 $90^\circ$ 다.
• 원에 내접하는 사각형: 네 꼭짓점이 한 원 위에 있는 사각형은 마주 보는 두 각의 합이 $180^\circ$ 다.

비교표

대상	성질
중심 → 현의 수선	현을 이등분
접선	접점의 반지름과 수직
원주각	중심각의 $\frac{1}{2}$
반원의 원주각	$90^\circ$
내접사각형	대각의 합 $180^\circ$

시험 포인트

• 반원(지름)에 대한 원주각 $=90^\circ$ 는 직각삼각형을 만들어 내는 강력한 단서다 — 원 안에 지름이 보이면 직각을 의심한다.
• 같은 호를 바라보는 원주각은 위치가 달라도 모두 같다. “어느 호를 바라보는가”를 먼저 확인한다.
• 원주각은 중심각의 절반이다. 두 배로 착각해 반대로 쓰지 않도록 주의한다.

개요

평균이 같아도 자료의 생김새는 완전히 다를 수 있다. 한 반은 모두 비슷한 점수인데 다른 반은 아주 높고 낮은 점수가 섞여 있다면, 평균만으로는 이 차이를 알 수 없다. 산포도는 자료가 평균을 중심으로 얼마나 흩어져 있는지를 하나의 수로 나타낸다. 그 핵심이 분산과 표준편차다.

핵심 사실

• 편차: 각 변량에서 평균을 뺀 값. 평균보다 크면 양수, 작으면 음수다.

$$(\text{편차})=(\text{변량})-(\text{평균})$$

• 편차의 합은 항상 $0$: 그래서 흩어진 정도를 재려면 편차를 그냥 더할 수 없고, 제곱해서 부호를 없앤다.
• 분산: 편차를 제곱한 값들의 평균이다.

$$(\text{분산})=\frac{(\text{편차})^2 \text{의 총합}}{(\text{변량의 개수})}$$

• 표준편차: 분산의 음이 아닌 제곱근. 분산은 제곱 때문에 단위가 커지므로, 원래 단위로 되돌린 표준편차를 함께 쓴다.

$$(\text{표준편차})=\sqrt{(\text{분산})}$$

• 표준편차가 작을수록 자료가 평균 가까이 모여 있고, 클수록 넓게 퍼져 있다.

비교표

값	뜻	특징
편차	변량 − 평균	합이 항상 0
분산	편차²의 평균	항상 0 이상
표준편차	$\sqrt{분산}$	원래 단위로 해석

시험 포인트

• 편차의 합이 $0$ 이라는 사실은 자주 나온다 — 이걸 이용해 빠진 한 변량이나 평균을 역으로 구한다.
• 분산·표준편차는 음수가 될 수 없다(제곱·제곱근이므로).
• 두 자료의 평균이 같을 때, 표준편차가 작은 쪽이 더 고르게 모여 있다고 해석한다.

개요

자료를 요약하는 또 다른 방법은 넷으로 나누는 것이다. 사분위수를 이용하면 자료가 어디에 몰려 있고 얼마나 퍼져 있는지를 상자 하나로 보여 줄 수 있다. 나아가 산점도는 키와 몸무게처럼 두 자료 사이에 어떤 관계가 있는지를 점들의 흐름으로 드러낸다.

핵심 사실

• 사분위수: 자료를 크기순으로 늘어놓고 넷으로 나누는 세 값. 제1사분위수 $Q_1$, 제2사분위수 $Q_2$, 제3사분위수 $Q_3$ 이며, 제2사분위수는 중앙값과 같다.
• 사분위범위: $Q_3-Q_1$. 가운데 $50\%$ 자료가 퍼진 정도로, 극단값의 영향을 덜 받는다.
• 상자그림: 최솟값·$Q_1$·$Q_2$·$Q_3$·최댓값 다섯 수를 상자와 수염으로 나타낸 그림. 자료의 치우침과 퍼짐을 한눈에 보여 준다.
• 산점도: 두 변량의 순서쌍을 좌표평면에 점으로 찍은 그래프.
• 상관관계: 한 값이 커질 때 다른 값도 대체로 커지면 양의 상관관계, 대체로 작아지면 음의 상관관계, 뚜렷한 경향이 없으면 상관관계가 없다고 한다.

비교표

용어	뜻
$Q_2$ (제2사분위수)	중앙값
사분위범위	$Q_3-Q_1$
양의 상관관계	함께 커짐 (오른쪽 위로)
음의 상관관계	하나가 커지면 다른 것은 작아짐

시험 포인트

• 제2사분위수 = 중앙값 은 반드시 기억한다. 사분위수를 구할 땐 먼저 자료를 크기순으로 정렬한다.
• 사분위범위는 $Q_3-Q_1$ 로, 양 끝의 극단값에 흔들리지 않는 산포도다.
• 산점도에서 점들이 오른쪽 위로 모이면 양의 상관, 오른쪽 아래로 흐르면 음의 상관이다.