실수 a, b, x, y 에 대해 제곱의 합끼리 곱한 것은 짝지어 곱한 합의 제곱보다 작지 않다. 두 식의 차가 정확히 (ay − bx)² 이라는 것이 증명의 전부다. 제곱의 합이 일정할 때 일차식의 최댓값과 최솟값을 한 번에 구하는 도구라 산술평균과 기하평균의 관계와 짝을 이룬다. 2022 개정 교육과정에서는 비중이 줄어 교과서 본문의 공식으로 다루지 않지만(교육과정 밖), 절대부등식의 증명 연습으로 자주 나와 이 편을 싣는다. 기하에서 벡터를 배우면 내적이 두 길이의 곱보다 크지 않다는 말로 다시 만난다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
두 식의 차를 전개해 완전제곱식 (ay − bx)² 으로 묶는다
등호가 ay = bx 일 때 성립함을 설명한다
제곱의 합이 일정할 때 일차식의 최댓값과 최솟값을 구한다
한 단계씩 유도해 보기
a = 1, b = 2, x = 2, y = 1 이면 제곱의 합끼리 곱한 것은 5 × 5 = 25 이고 ax + by 의 제곱은 16 이다. 25 칸에서 16 칸을 떼면 L자 9 칸이 남는데 그것이 (ay − bx)² 이라 음수가 될 수 없다. ay = bx 가 되는 순간 L자가 사라져 등호가 선다.
(a2+b2)(x2+y2)−(ax+by)2
두 식의 크기를 비교하려고 차를 만든다. 이 차가 0 이상이면 부등식이 증명된다. 절대부등식의 증명은 대개 이렇게 차를 만들어 제곱 꼴로 묶는 데서 끝난다.
오귀스탱루이 코시