절대부등식

왜 그런가

등식에 방정식과 항등식이 있듯 부등식에도 두 갈래가 있다. 어떤 범위에서만 성립하는 부등식(조건부등식)은 그 범위를 구하는 것이 일이다. 언제나 성립하는 부등식(절대부등식)은 정말 언제나 성립하는지 증명하는 것이 일이다.

뿌리는 거의 하나다. 실수를 제곱하면 $0$ 이상이다. $(a-b{)}^2\ge 0$ 을 전개하면 $a^2-2ab+b^2\ge 0$, 곧 $a^2+b^2\ge 2ab$ 가 나온다. 양수 $a$, $b$ 에서는 같은 생각으로 산술평균과 기하평균의 관계가 나온다.

그림으로 읽으면, 둘레가 같은 직사각형 가운데 정사각형이 가장 넓다는 말이다. 가로와 세로가 $a$, $b$ 이면 둘레는 $2(a+b)$, 넓이는 $ab$ 다. 둘레가 같은 정사각형의 한 변은 $\frac{a+b}{2}$ 이고, 그 넓이는 언제나 $ab$ 이상이다.