내적
벡터의 내적
두 벡터에서 수 하나를 만드는 곱. 두 벡터의 크기와 사잇각의 코사인을 곱한 값이다.
초등
고3 에서 배웁니다.
, 의 내적은 다. 두 벡터의 크기가 모두 이므로 사잇각 는 인 각이다.
왜 그런가
내적은 한 벡터가 다른 벡터의 방향으로 얼마나 함께 가는지를 잰다. 를 의 방향으로 정사영한 길이에 의 크기를 곱한 것이다. 사잇각을 라 하면 아래와 같다.
놀라운 것은 성분으로도 계산된다는 점이다. 같은 자리의 성분끼리 곱해 더하면 위의 값과 똑같이 나온다. 그래서 각을 몰라도 내적부터 계산하고, 거꾸로 위 식에서 를 꺼내 각을 구한다. 영벡터가 아닌 두 벡터의 내적이 이면 이라 두 벡터는 수직이다. 수직인지 묻는 일이 곱셈 몇 번으로 끝난다.
물리에서 힘이 한 일이 내적이다. 짐을 비스듬히 끌면 힘 가운데 움직인 방향으로 향한 몫만 일을 한다. 짐을 들고 수평으로 걸어갈 때 짐을 받치는 힘은 위를 향해 움직인 방향과 수직이라 한 일이 이다.
벡터의 실수배와 내적
구분 벡터의 실수배 내적
곱하는 것 수와 벡터 벡터와 벡터
기호
사잇각이 들어가는가 아니다 로 들어간다
흔한 오해
수의 곱셈과 달리 라고 인 것은 아니다. , , 는 내적이 둘 다 지만 와 는 다르다. 내적은 방향의 몫만 보고 나머지를 버리기 때문이다. 같은 까닭으로 영벡터가 아닌 두 벡터의 내적이 일 수도 있다.
이웃한 낱말
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내적과 이어진 말
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크기와 방향을 함께 가진 양. 화살표로 나타낸다.
한 점에서 그은 두 반직선이 벌어진 정도.
두 직선이 직각으로 만나면 수직, 아무리 늘여도 만나지 않으면 평행이다.
곱셈은 같은 수를 거듭 더하는 일을 한 번에 적는 셈이고, 나눗셈은 곱셈을 거꾸로 푸는 셈이다.