모평균의 신뢰구간
k = 1.96 이번 판 95 / 100 누적 100 줄 중 95 줄이 m 을 덮었다 (95.0%)
구간은 표본마다 x̄ ± k·σ/√n 로 긋는다(σ = 10, n = 25). 덮었는지는 줄마다 확인해 센다. 비교: 신뢰도 95%
표본을 뽑을 때마다 구간이 달라진다. 모평균은 그대로 한 자리에 있고 움직이는 것은 구간이다. 이렇게 그은 구간 가운데 모평균을 덮는 것이 100 개에 95 개꼴이라는 뜻이 신뢰도 95% 다. 구간 하나가 맞을 확률이 95% 라는 말이 아니다. 그은 구간은 이미 맞았거나 틀렸다.
표본 하나로 모평균을 정확히 맞히는 일은 불가능하다. 그래서 「이쯤에서 이쯤 사이」라고 구간으로 답하고, 그 답이 맞을 비율을 함께 말한다. 구간의 중심은 언제나 표본평균이고, 폭은 표본평균이 얼마나 흔들리는가와 얼마나 확신하고 싶은가가 정한다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 신뢰구간의 중심과 폭이 각각 무엇으로 정해지는지 설명한다
- 표본 크기와 신뢰도를 바꿀 때 구간이 어떻게 달라지는지 말한다
- 신뢰도 95% 의 뜻을 정확한 문장으로 쓴다
한 단계씩 유도해 보기
표본평균은 어떤 표본을 뽑느냐에 따라 값이 달라지는 확률변수다. 그 중심은 모평균 그대로이고 흩어짐만 √n 으로 줄어든다.
1 / 2 단계· 💎 3단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
표준화한 Z 의 부등식을 m 에 대해 푸는 것이 전부다. 외울 것은 k 값 둘뿐이다.
구조로 기억한다. 중심은 표본평균, 폭은 k 곱하기 표본평균의 표준편차다. 표본평균의 표준편차가 σ/√n 이라는 것만 붙잡으면 나머지는 따라온다. √n 을 n 으로 쓰는 실수가 가장 흔한데, 분산이 σ²/n 이라는 것에 제곱근을 씌워 보면 바로 잡힌다. k 는 95% 에 1.96, 99% 에 2.58 이고 문제에서 표로 주는 일도 많다. 거꾸로 구간의 양 끝이 주어지면 두 끝의 평균이 x̄, 차의 절반이 kσ/√n 이다. 신뢰도 95% 의 뜻은 이렇다. 같은 크기의 표본을 여러 번 뽑아 구간을 만들면 그중 약 95% 가 m 을 품는다는 말이다.