신뢰구간
신뢰도
표본으로 모평균을 어림할 때, 모평균이 들어 있으리라고 믿을 만한 범위.
고2 에서 배웁니다.
크기가 인 표본의 평균이 이고 모표준편차가 이면, 신뢰도 의 신뢰구간은 , 곧 부터 까지다.
왜 그런가
표본평균 하나를 들고 「모평균은 이다」라고 찍으면 거의 틀린다. 표본평균은 뽑을 때마다 조금씩 다르기 때문이다. 그래서 수 하나 대신 폭을 주어 말한다. 「 와 사이에 있다고 믿는다」처럼.
폭은 표본평균이 흩어지는 정도로 정한다. 모표준편차를 , 표본의 크기를 이라 하면 표본평균은 모평균 둘레에 만큼 흩어진다. 표준정규분포에서 가운데 를 품는 경계가 이라, 표본평균에서 양쪽으로 그 배씩 팔을 벌린다. 표본평균의 값을 로 쓰면 신뢰도 의 신뢰구간은 아래와 같다.
이렇게 만든 구간을 표본을 바꿔 가며 번 만들면 그 가운데 개쯤이 모평균을 품는다. 더 확실하게 말하고 싶으면 팔을 더 벌려야 해서 구간이 넓어지고, 넓은 구간은 덜 쓸모 있다. 확실하면서 좁게 말하려면 표본을 늘리는 수밖에 없다.
장면으로 보기 · 구간 100 개를 그으면
k = 1.96 이번 판 95 / 100 누적 100 줄 중 95 줄이 m 을 덮었다 (95.0%)
구간은 표본마다 x̄ ± k·σ/√n 로 긋는다(σ = 10, n = 25). 덮었는지는 줄마다 확인해 센다. 비교: 신뢰도 95%
표본을 뽑을 때마다 구간이 달라진다. 모평균은 그대로 한 자리에 있고 움직이는 것은 구간이다. 이렇게 그은 구간 가운데 모평균을 덮는 것이 100 개에 95 개꼴이라는 뜻이 신뢰도 95% 다. 구간 하나가 맞을 확률이 95% 라는 말이 아니다. 그은 구간은 이미 맞았거나 틀렸다.
수 하나로 말하기와 구간으로 말하기
흔한 오해
모평균을 땅에 박힌 말뚝, 구간을 던지는 고리라고 생각해 보자. 말뚝은 움직이지 않고 고리만 던질 때마다 다른 자리에 떨어진다. 신뢰도 는 고리를 많이 던졌을 때 말뚝에 걸리는 비율이다. 이미 떨어진 고리 하나를 두고 「걸렸을 확률이 」라고 하면 틀린다. 그 고리는 걸렸거나 안 걸렸거나 둘 중 하나다.
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