모집단과 표본
모집단 · 표본 · 모평균 · 표본평균
알고 싶은 대상 전체가 모집단이고, 그 가운데 실제로 뽑아 조사한 일부가 표본이다.
고2 에서 배웁니다.
공장에서 하루에 만든 전구 만 개의 평균 수명을 알고 싶을 때, 전구 만 개 전체가 모집단이고 꺼내서 켜 본 개가 표본이다.
왜 그런가
국이 짠지 보려고 냄비를 다 마시지 않는다. 한 숟가락이면 된다. 다만 잘 저은 뒤에 떠야 한다. 표본조사가 이것이다. 전부를 조사하는 전수조사는 돈과 시간이 많이 들고, 전구의 수명처럼 조사하는 순간 물건을 못 쓰게 되는 경우에는 아예 할 수 없다.
표본의 평균(표본평균)은 어떤 표본이 뽑히느냐에 따라 달라진다. 전구 개를 다시 뽑으면 평균 수명도 조금 달라진다. 그래도 아무렇게나 흩어지지 않는다. 표본평균들은 모집단의 평균(모평균) 둘레에 모이고, 표본이 클수록 더 촘촘히 모인다. 모집단의 표준편차를 , 표본의 크기를 , 표본평균을 로 쓰면 표본평균이 흩어진 정도는 아래와 같다.
분모에 이 아니라 이 있어서, 표본을 늘린 만큼 그대로 정확해지지는 않는다. 흩어짐을 조금 더 줄이려면 표본이 점점 더 많이 든다. 그래서 조사는 표본을 끝없이 키우기보다 알맞은 크기에서 멈추고, 고르게 뽑는 데 힘을 쓴다.
장면으로 보기 · 아무 모양이라도 평균은 종 모양
표본평균들의 평균 = 5.16 (m = 5.10) 표본평균들의 표준편차 = 1.87 (σ/√n = 1.78)
퍼짐이 유한한 모집단이면 모양이 어떻든 표본평균은 m 을 중심으로 종 모양으로 모이고, 퍼짐은 σ/√n 으로 줄어든다. 갈톤 보드가 이항분포의 이야기라면 이것은 거의 모든 분포의 이야기다.
전수조사와 표본조사
흔한 오해
표본은 크기보다 고르게 뽑는 것이 먼저다. 1936년 미국 대통령 선거 때 한 잡지는 만 명이 넘는 응답을 모으고도 진 후보의 승리를 점쳤다. 명단을 전화와 자동차를 가진 사람 쪽에서 많이 뽑았고, 답을 보낸 사람도 한쪽으로 치우쳤다. 훨씬 적은 사람을 고르게 뽑은 조사가 결과를 맞혔다.
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