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이자를 자주 붙일수록 intomath.kr
멈추는 값 2.7183 연말 잔고 2.6130 1년에 n 번 연말 잔고 1 2.00000 2 2.25000 4 2.44141 12 2.61304 52 2.69260 365 2.71457 8760 2.71813 100000 2.71827 n = 12 연말 잔고 = 2.6130 원 n 을 아무리 올려도 2.7183 을 못 넘는다
잔고는 1 에 (1 + 1/n) 을 n 번 곱한 값이다. 멈추는 값은 n = 100000 으로 같은 곱을 돌린 2.71827 이다. 비교: e = 2.71828
1년에 붙이는 횟수 n 12 다시
이자를 자주 붙일수록 잔고는 늘지만 끝없이 늘지는 않는다. 그 한계가 e 이고, 이것이 지수함수의 밑이 e 인 이유다.
지수함수와 로그함수의 도함수가 이 두 극한 위에 서 있다. 둘 다 e 의 정의에서 한 걸음 만에 나오고 서로는 치환 하나로 오간다. 외울 것이 두 개가 아니라 하나다.
이 공식, 이렇게 학습하세요 로그의 성질로 x 분의 1 을 지수 자리에 올려 e 의 정의에 닿는다 치환 하나로 두 극한이 서로 뒤집힌 꼴임을 확인한다 분모의 꼴을 맞춰야 쓸 수 있다는 것을 예제에서 익힌다 한 단계씩 유도해 보기
e^x − 1
ln(1+x)
y = x
0 에 다가가면
셋이 겹쳐 보인다 두 곡선이 원점에서 직선 y = x 에 접한다. 서로는 그 직선에 대해 대칭인데 역함수이기 때문이다. 원점 가까이에서 셋이 거의 구분되지 않는다는 사실을 비로 적은 것이 두 기본 극한이고, 값이 1 인 것은 접하는 직선의 기울기가 1 이라서다. x ln ( 1 + x ) = ln ( 1 + x ) x 1
로그의 성질로 x 분의 1 을 지수 자리에 올린다. 분수 꼴이 사라지고 로그 하나만 남는다.
1 / 2 단계· 💎 3단계 더
👤 이 공식 뒤의 사람, 야코프 베르누이 이야기 →
외울까, 되살릴까 외우지 않아도 된다
e 의 정의에 로그를 씌우면 첫 극한이고, 나머지 하나는 그것을 뒤집은 것이다.
ln(1+x) 를 x 로 나눈 식에서 x 분의 1 을 지수로 올리면 로그 안이 (1+x) 의 x 분의 1 승이 된다. x 가 0 으로 갈 때 그 안이 e 이므로 값은 ln e 이고 1 이다. 둘째 극한은 t = eˣ − 1 로 놓으면 x = ln(1+t) 이라 분수가 첫 극한의 역수 꼴이 되고, 1 의 역수는 1 이다.
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유도 3단계 · 흔한 실수 3개 · 예제 1개
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직접 만져 보기 지수의 확장 역함수 (y = x 대칭) 대소 비교 · 부등호 도함수 · ln a 기본 극한 · e 에서만 1
1.317 0.802 밑 a = 2.75 0 에서의 거리 x = 0.5
(2.75x − 1) ÷ x = 1.317 · log2.75 (1 + x) ÷ x = 0.802
가는 곳 1.012 · 0.989 · 곱 1
x 를 0 쪽으로 밀면 위의 몫은 ln 2.75 = 1.012 으로, 아래의 몫은 그 역수인 0.989 으로 간다.
밑이 e 라 ln e = 1 이고, 역수도 1 이다. 그래서 둘이 함께 1 로 간다. 교과서가 이 둘을 기본 극한으로 적는 까닭이다.
x = 0 에서는 분모가 0 이라 값이 없다. 곡선이 그 자리에서 끊겨 있는데, 왼쪽과 오른쪽에서 같은 높이로
모이는 것이 곧 극한이 있다는 뜻이다.
밑 2.75 · x 0.5 · 몫 1.317 0.802 · 극한 1.012 0.989
밑은 2.75 이고 증가함수입니다. x 가 0.5 일 때 두 몫은 1.317 와 0.802 입니다. x 를 0 으로 보내면 각각 ln a = 1.012 과 그 역수 0.989 으로 갑니다. 밑이 e 라 둘이 함께 1 로 갑니다.
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야코프 베르누이