고3 수와 연산

e (자연상수)

자연상수 · 오일러 수 · 네이피어 수

$(1 + \frac{1}{n})^{n}$ 이 $n$ 이 커질 때 다가가는 수. 약 $2.718$ 이다.

초등중등고등

고3 에서 배웁니다.

1년 이자율 100% 를 한 번에 붙이면 2배, 매달 나눠 붙이면 약 $2.613$ 배, 매일 붙이면 약 $2.7146$ 배다. 순간마다 붙이면 $e$ 배, 약 $2.718$ 배에 다가간다.

왜 그런가

이자를 쪼개 자주 붙일수록 더 불어나지만 끝없이 불어나지는 않는다. 쪼개는 횟수 $n$ 을 키우면 $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ 이 한 값에 수렴하고, 그 값이 $e$ 다.

$e$ 가 특별한 까닭은 미분에 있다. $y = e^{x}$ 의 그래프는 어느 점에서나 기울기가 그 점의 높이와 같다. 그래서 $(e^{x})^{'} = e^{x}$ , 미분해도 자기 자신이다. 자라는 양이 지금의 크기에 비례해 자라는 현상(인구, 방사성 붕괴, 식는 커피)이 모두 $e$ 로 쓰인다.

$e$ 를 밑으로 하는 로그를 자연로그라고 하고 $ln$ 으로 쓴다. 미적분에서 로그와 지수는 거의 언제나 이 밑으로 나온다.

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이자를 자주 붙일수록

n = 12 연말 잔고 = 2.6130 원 n 을 아무리 올려도 2.7183 을 못 넘는다

잔고는 1 에 (1 + 1/n) 을 n 번 곱한 값이다. 멈추는 값은 n = 100000 으로 같은 곱을 돌린 2.71827 이다. 비교: e = 2.71828

1년에 붙이는 횟수 n 12

이자를 자주 붙일수록 잔고는 늘지만 끝없이 늘지는 않는다. 그 한계가 e 이고, 이것이 지수함수의 밑이 e 인 이유다.

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e와 π

e π

값

2.71828 \dots

3.14159 \dots

어디서 나오나 자라는 것, 복리, 미분 원, 회전, 주기

공통점 둘 다 무리수 둘 다 무리수

이름의 유래

1683년 야코프 베르누이가 복리 이자를 따지다 이 수에 다가가는 것을 알아냈다. 기호 e 는 18세기 오일러가 쓰기 시작했다.

흔한 오해

$2.718281828$ 까지 보면 $1828$ 이 두 번 나와 되풀이되는 것 같지만, 그다음은 $459045 \dots$ 로 이어진다. $e$ 는 되풀이 없이 끝없이 이어지는 무리수다.

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