미적분
급수의 수렴과 일반항의 극한
책을 쌓으면 탑은 끝없이
책 n = 12 권 이번 책이 더 민 길이 = 0.042 권 (→ 0) 탑의 돌출 = 1.55 권
두 권 길이는 31 권, 세 권은 227 권, 네 권은 1674 권에서 넘는다(같은 균형 루프를 2000 권까지 돌려 센 값)
책을 더할 때마다 탑이 더 밀리는 길이는 0 으로 줄어든다. 그런데 균형대로 쌓은 탑은 멈추지 않고 어떤 길이든 넘어선다. 급수가 수렴하면 항은 0 으로 가지만, 항이 0 으로 간다고 급수가 수렴하는 것은 아니다. 반씩만 민 탑과 나란히 보면 그 차이가 보인다.
급수가 어떤 값에 수렴하면 더해지는 항은 반드시 0 으로 줄어들어야 한다. 합이 멈춰 선다는 것은 새로 더해지는 조각이 사라진다는 뜻이기 때문이다. 쓸모가 있는 것은 이 명제의 대우다. 일반항이 0 으로 가지 않으면 급수는 발산한다. 다만 역은 거짓이라 항이 0 으로 가도 급수가 발산할 수 있다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 일반항을 이웃한 두 부분합의 차로 쓴다
- 급수가 수렴하면 일반항의 극한이 0 임을 부분합의 극한으로 보인다
- 대우로 발산을 판정하고, 역이 성립하지 않는 예를 든다
한 단계씩 유도해 보기
급수가 수렴한다는 말은 부분합 Sₙ 이 한 값 S 로 간다는 뜻이다. 여기서 출발한다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
일반항이 부분합 두 개의 차라는 한 줄에서 나온다. 두 부분합이 같은 값으로 가면 그 차는 0 이다.
aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ 을 적고 극한을 씌운다. 쓸 때는 방향을 조심한다. 이 명제는 발산을 판정할 때만 쓴다. 항이 0 으로 가는 것을 보고 수렴한다고 결론 내리면 틀린다. 조화급수 1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ 이 늘 반례다.
오귀스탱루이 코시