수렴
발산
값이 어떤 한 수에 한없이 가까워지는 것. 그렇지 않으면 발산이라고 한다.
고2 에 처음 만나 고3 까지 이어집니다.
은 이 커질수록 에 다가가므로 으로 수렴한다. 은 끝없이 커지므로 발산한다.
왜 그런가
수렴은 「충분히 멀리 가면 그 값에 원하는 만큼 가까이 머문다」는 뜻이다. 어느 순간 딱 그 값이 될 필요는 없다. 은 한 번도 이 되지 않지만 으로 수렴한다.
발산에는 세 모양이 있다. 끝없이 커지는 것(), 끝없이 작아지는 것(), 그리고 한 값에 머물지 못하고 흔들리는 것()이다. 마지막 것을 진동이라고 한다.
도 수렴으로 읽는다. , , , … 가 로 수렴하고, 끝없는 소수 는 바로 그 수렴하는 값을 가리키는 이름이다.
장면으로 보기 · 끝없이 더해도 하나
r = 1/2, a = 1 − r = 1/2 n = 12 Sₙ = 0.999755859375 남은 틈 rⁿ = 0.000244140625
공비가 r 일 때 첫째항을 a = 1 − r 로 두면 합 a/(1 − r) 가 꼭 1 이 됩니다. 그래서 조각을 아무리 더해도 넓이 1 인 정사각형 하나를 넘지 않고, 남은 틈 rⁿ 만 끝없이 작아집니다. 조각 둘마다 남은 칸이 처음 정사각형을 줄인 꼴이라 같은 무늬가 끝없이 되풀이됩니다.
수렴과 발산
이름의 유래
수렴(收斂)은 「거두어 모은다」, 발산(發散)은 「흩어져 나간다」다. 영어 converge 는 라틴어로 「함께 기울다」, 한 점으로 모여든다는 뜻이다.
흔한 오해
「극한이 다」라고 쓰는 경우도 수렴이 아니라 발산이다. 는 수가 아니라 「끝없이 커진다」는 모습을 적은 기호다.
이웃한 낱말
「수렴」과 이어진 낱말입니다. 누르면 그 낱말로 넘어갑니다.
낱말에 마우스를 올리면 한 줄 뜻이 여기에 뜹니다. 낱말을 누르면 그 낱말로 넘어갑니다.